15. Функция y = ctg t, число arcctg a

Функция y=ctgt, ее свойства

Сначала напомним, каким образом получается функция, то есть напомним тот закон, согласно которому каждому допустимомуставится в соответствие единственное значение.

Пусть t – любое число, для простоты пусть положительное:.

Рассмотрим единичную окружность (рис. 1), которая помещена в координатную плоскость. На пересечении окружности с осью абсцисс – точка, от нее откладываем против часовой стрелки значение. Получаем дугу. Итак, если задано конкретное число, то получаем единственную точку М на единичной окружности, и эта точка имеет две координаты. Первую координату назвали косинусом –; вторую координату назвали синусом –. Итак, имеем:

.

Отношение этих двух координат и есть котангенс:.

График функции y=ctgt, графическое решение простейших уравнений

Таким образом, каждому значению ставится в соответствие единственным образом число, то есть задана функция.

Напомним, что ось котангенсов – это касательная к окружности в точке пересечения окружности с осью ординат.

Рассмотрим основные свойства функции.

1. Область определения: котангенс – это дробь, значит, необходимо ввести ограничение на знаменатель:;

2. Область значений:;

3. Наименьший положительный период функции:. Это дает нам следующее следствие:для любого допустимого;

4. Функция нечетная:.

Сформулируем алгоритм нахождения котангенса по единичной окружности.

1. Отложить от точки А на окружности, соответствующей углу в ноль градусов, дугу в t градусов;

2. Получить точку М на окружности;

3. Провести луч из начала координат через точку М и получить точку пересечения луча с осью котангенсов;

4. Абсцисса точки пересечения и будет искомым котангенсом.

Рассмотрим график функции(рисунок 2).

График функции убывает от плюс бесконечности до минус бесконечности на промежутке, и так на каждом периоде.

Решим уравнение:.

Представлена обратная задача для функции: определить, при каких значениях аргумента функция принимает заданное значение.

Рис. 2. График функции

Из графика очевидно, что уравнение имеет бесчисленное множество решений. Так, и т. д.

Запишем множество решений:

.

Функция у=сtgt на интервале (0; π), важнейшие значения функции

Рассмотрим график функции(рис. 3).

На данном промежутке функция монотонно убывает от плюс бесконечности до минус бесконечности и пробегает все свои значения.

Так, на данном интервале укажем наиболее важные точки:

Рис. 3. График функции

Чтобы легче было запомнить значение котангенсов, можно вспомнить, что котангенс – это отношение катетов прямоугольного треугольника. Так, при углеоба острых угла прямоугольного треугольника равны, треугольник равнобедренный и имеет равные катеты, значит, их отношение равно единице.

Важно, что на данном промежутке не только прямая задача имеет единственное решение, но и обратная задача имеет единственное решение. То есть, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента, оно и называется арккотангенсом и является решением обратной задачи.

Понятие арккотангенса, определение арккотангенса по тригонометрической окружности

Определение

Арккотангенсом числаназывается такое число, лежащее в пределах от нуля до пи, котангенс которого равен:

э

Свойство арккотангенса:;.

Например:

.

Теперь напомним, как можно находить значения арккотангенсов с помощью тригонометрической окружности и линии котангенсов (рис. 4).

Например, чтобы найтиищем значениена оси котангенсов и находим соответствующую ему точку на окружности:. Аналогично,

Решение тригонометрических уравнений

Арккотангенсы часто применяются при решении тригонометрических уравнений.

Пример 1 – решить уравнение:.

Задано простейшее тригонометрическое уравнение с котангенсом, все остальные уравнения сводятся к данному виду. Рассмотрим тригонометрический круг (рис. 5).

На оси котангенсов выбираем число, строим угол и получаем две точки на единичной окружности:. Имеем множества значений, которые проектируются в точку. Чтобы найти эти множества, вспомним, что арккотангенс лежит в пределах. Так,

.

Полученные множества можно объединить в одно:.

Пример 2 – решить уравнение:

.

Очевидна замена переменных:

.

Имеем:

.

Находим корни квадратного уравнения любым способом, получаем:

.

Вернемся к исходным переменным:

Ответ:.

Итак, мы рассмотрели функциюи число, решили некоторые простейшие примеры и изучили частные случаи. Далее приступим к повторению производной.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Домашнее задание

1. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на тригонометрической окружности:
   а);

   б);

   в);

   г);

   д).

2. Построить график функции:
   а);

   б);

   в);

   г);

   д).

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет репетитор (Источник).

2. ЕГЭ сдам (Источник).