12. Функция y = sin t и число arcsin a

Функция y = sin(t) и ее свойства

Функция, как и любая другая функция, – это закон, по которому каждому значению аргумента, в данном случае, ставится в соответствие единственное значение функции –. Рассмотрим, каким же образом значениюпоставить в соответствие значение

Рассмотрим единичную окружность, которая помещена в координатную плоскость. На пересечении окружности с осью абсцисс – точка , от нее откладываем против часовой стрелки значение , получаем дугу , значение откладываем против часовой стрелки и получаем точку и дугу . Итак, если задано конкретное число , то получаем единственную точку М на единичной окружности, и эта точка имеет две координаты. Первую координату назвали косинусом – ; вторую координату назвали синусом – . Итак, имеем:

Таким образом, каждому значениюставится в соответствие единственным образом число.

Рассмотрим основные свойства функции:

1. Область определения:;

2. Область значений:;

3. Наименьший положительный период функции:. Это дает нам следующее следствие:для любого;

4. Функция нечетная:;

Отметим, что каждому значениюсоответствует единственная точка М на окружности:. При этом каждой точке М соответствует множество значенийтаких, что:.

График функции y = sin(t), графическое решение простейших уравнений

Графиком функцииявляется синусоида (рис. 2). График функции сначала возрастает от нуля до единицы, потом убывает до минус единицы и снова возрастает до единицы, и так далее. Решим уравнение:. Представлена обратная задача для функции: определить, при каких значениях аргумента функция принимает заданное значение.

Из графика очевидно, что уравнение имеет бесчисленное множество решений. Так,и т. д.

Запишем множество решений:

Функция у = sin t на интервале [-π/2;π/2], важнейшие значения функции

Рассмотрим график функции

На данном промежутке функция монотонно возрастает от минус единицы до плюс единицы и пробегает все свои значения.

Так, на данном интервале укажем наиболее важные точки:

Важно, что на данном промежутке не только прямая задача имеет единственное решение, но и обратная задача имеет единственное решение.

Понятие арксинуса, определение арксинуса по тригонометрической окружности

Арксинусом числаназывается такое число, лежащее в пределах от минус до плюс пи пополам, синус которого равен:

Свойством арксинуса является нечетность:;

Например:;

Решение простейшего тригонометрического уравнения

Теперь напомним, как можно находить значения арксинусов с помощью тригонометрической окружности.

Например, чтобы найти, ищем значениена осии находим соответствующую ему точку на окружности:. Аналогично

Арксинусы часто применяются при решении тригонометрических уравнений.

Пример 1: решить уравнение:

Задано простейшее тригонометрическое уравнение с синусом, все остальные уравнения сводятся к данному виду.

Рассмотрим тригонометрический круг:

Осьсоответствует линии синусов, на ней выбираем число, строим перпендикуляр и получаем две точки на единичной окружности – . Имеем множества значений, которые проектируются в точку. Чтобы найти эти множества, вспомним, что арксинус лежит в пределах . Так, 

Полученные множества можно объединить в одно:

Частные случаи уравнений с синусом

Рассмотрим важные частные случаи.

1.  

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии синусов со значением ноль проходит по оси, и данное значение достигается в двух семействах точек – и. Так, имеем общее решение:

 (Рис. 6)

2. 

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии синусов со значением единицы проходит в верхней точке окружности, и данное значение достигается в семействе точек. Так, имеем решение:

(Рис. 7)

3.

Рассматривая тригонометрическую окружность, несложно заметить, что перпендикуляр к линии синусов со значением минус единицы проходит в нижней точке окружности, и данное значение достигается в семействе точек . Так, имеем решение:

(Рис. 8)

Итак, мы рассмотрели функциюи число, решили некоторые простейшие примеры и изучили частные случаи. Далее рассмотрим функциюи число.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-репетитор (Источник).

2. Старая школа (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на тригонометрической окружности:

а);

б);

в);

г);

д);

1. Построить график функции:

а);

б);

в);

г);

д);