14. Функция y = tg t, число arctg a

Функция у=tgt, ее свойства

Сначала напомним, каким образом получается функция, то есть напомним тот закон, согласно которому каждому допустимомуставится в соответствие единственное значение.

Пусть t – любое число, для простоты пусть положительное:.

Рассмотрим единичную окружность (рис. 1), которая помещена в координатную плоскость. На пересечении окружности с осью абсцисс – точка, от нее откладываем против часовой стрелки значение. Получаем дугу. Итак, если задано конкретное число, то получаем единственную точку М на единичной окружности, и эта точка имеет две координаты. Первую координату назвали косинусом –; вторую координату назвали синусом –. Итак, имеем:.

Отношение этих двух координат и есть тангенс:

Таким образом, каждому значениюставится в соответствие единственным образом число, то есть задана функция.op

График функции у=tgt, графическое решение простейших уравнений

Рассмотрим основные свойства функции(рис. 2).

1. Область определения: тангенс – это дробь, значит, необходимо ввести ограничение на знаменатель:.

2. Область значений:.

Проиллюстрируем.

Из подобия треугольников ∆OMN и ∆ОВА мы констатируем, что точка В численно равна тангенсу. То есть ордината точки пересечения касательной к единичной окружности в точке А и прямой ОМ есть. Значит, ось тангенсов длится от минус до плюс бесконечности для любых углов, для прямого угла мы имеем параллельные прямые и тангенс не существует.

Рис. 2. Свойства функции

3. Наименьший положительный период функции:. Это дает нам следующее следствие:для любого допустимого.

4. Функция нечетная:.

Функция у=tgt на интервале [-π/2; π/2, важнейшие значения функции]

Рассмотрим график функции (рисунок 3).

График функции возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности на промежутке, и так на каждом периоде.

Решим уравнение:

.

Представлена обратная задача для функции: определить, при каких значениях аргумента функция принимает заданное значение.

Рис. 3. График функции

Из графика очевидно, что уравнение имеет бесчисленное множество решений. Так, и т. д.

Запишем множество решений:

.

Рассмотрим график функции.

На данном промежутке функция монотонно возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности и пробегает все свои значения.

Так, на данном интервале укажем наиболее важные точки:

Рис. 4. График функции

Чтобы легче было запомнить значение тангенсов, можно вспомнить, что тангенс – это отношение катетов прямоугольного треугольника. Так, при углеоба острых угла прямоугольного треугольника равны, треугольник равнобедренный и имеет равные катеты, значит, их отношение равно единице.

Важно, что на данном промежутке не только прямая задача имеет единственное решение, но и обратная задача имеет единственное решение. То есть, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента, оно и называется арктангенсом и является решением обратной задачи.

Понятие арктангенса, определение арктангенса по тригонометрической окружности

Определение

Арктангенсом числаназывается такое число, лежащее в пределах от минус пи пополам до пи пополам, тангенс которого равен:

.

Свойство арктангенса:.

Например:(ищем на оси ординат точку, проводим к графику перпендикуляр, находим точку пересечения и определяем значение угла); по свойству:.

Теперь напомним, как можно находить значения арктангенсов с помощью тригонометрической окружности и линии тангенсов (рис. 5).

Например, чтобы найтиищем значениена оси тангенсов и находим соответствующую ему точку на окружности:. Аналогично.

Арктангенсы часто применяются при решении тригонометрических уравнений.

Решение тригонометрических уравнений

Пример 1 – решить уравнение:.

Задано простейшее тригонометрическое уравнение с тангенсом, все остальные уравнения сводятся к данному виду. Рассмотрим тригонометрический круг (рис. 6).

На оси тангенсов выбираем число, строим угол и получаем две точки на единичной окружности:. Имеем множества значений, которые проектируются в точку. Чтобы найти эти множества, вспомним, что арктангенс лежит в пределах. Так,

.

Полученные множества можно объединить в одно:

.

Пример 2 – решить уравнение:.

Очевидна замена переменных:.

Имеем:.

Приведем к общему знаменателю:

.

Дробь равна нулю тогда, когда числитель ее равен нулю и знаменатель при этом не равен нулю:

.

Находим корни квадратного уравнения любым способом, получаем:

.

Вернемся к исходным переменным:

.

Ответ:.

Итак, мы рассмотрели функциюи число, решили некоторые простейшие примеры и изучили частные случаи. Далее рассмотрим функциюи число.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Домашнее задание

1. Решить уравнение и проиллюстрировать решение на тригонометрической окружности:
   а);

   б);

   в);

   г);

   д).

2. Построить график функции:
   а);

   б);

   в);

   г);

   д).

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет репетитор (Источник).

2. ЕГЭ сдам (Источник).