12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)

Логарифм, определение, основные факты

Логарифмическая функция базируется на понятии логарифма и свойства показательной функции , где  (основание степени а больше нуля и не равно единице).

Определение:

Логарифмом числа по основанию называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

, , ,

Примеры:

, т.к. ; ; , т.к. ;

Напомним основное правило: чтобы получить число, стоящее под логарифмом, необходимо основание логарифма возвести в степень – значение логарифма:

Напомним важные особенности и свойства показательной функции.

, ,

Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :

Такая функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Такая функция монотонно убывает на всей своей области определения.

В любом случае, показательная функция монотонна, принимает все положительные значения и, в силу своей монотонности, каждое положительное значение достигает при единственном значении аргумента. То есть, каждое конкретное значение  функция достигает при единственном значении аргумента , корнем уравнения  и есть логарифм:

По сути, мы получили обратную функцию. Прямая функция – это когда у нас есть независимая переменная (аргумент), зависимая переменная (функция), мы задали значение аргумента и по нему получаем значение функции. Обратная функция: пусть независимой переменной будет , ведь мы уже оговорили, что каждому положительному значению у соответствует единственное значение , определение функции соблюдается. Тогда становится зависимой переменной.

Вывод:

Для монотонной прямой функции , ,  существует обратная функция . Суть функциональной зависимости не изменится, если мы введем переобозначение:

Получаем:

Но нам привычнее обозначать независимую переменную за , а зависимую – за :

Таким образом, мы получили логарифмическую функцию.

Свойства показательной функции

Используем общее правило получения обратной функции для конкретной показательной функции .

Заданная функция монотонно возрастает (согласно свойствам показательной функции), значит, существует обратная ей функция. Напоминаем, что для ее получения необходимо выполнить два действия:

Выразить через :

Поменять местами и :

Логарифмическая функция как обратная к показательной

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой . проиллюстрируем:

Примеры нахождения обратной функции

Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.

Решим задачу при

Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:

Выразить через :

Поменять местами и :

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой . проиллюстрируем:

Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.

У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций  и .

Связь прямой и обратной функции

Свойства прямой (показательной) функции:

Область определения: , ;

Область значений: , ;

Функция возрастает;

Выпукла вниз.

Свойства обратной (логарифмической) функции:

Область определения: , ;

Область значений: , ;

Функция возрастает;

Выпукла вверх.

Обратим внимание, что область определения и область значений прямой и обратной функции меняются местами. Кроме того, если прямая функция возрастает, то и обратная возрастает. И, наконец, если прямая функция выпукла вниз, то обратная – вверх.

Таким образом, мы подтвердили связь прямой и обратной функции.

Итак, мы изучили логарифмическую функцию и ее связь с показательной функцией. На следующем уроке мы продолжим рассматривать логарифмическую функцию и научимся решать типовые задачи.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Edu.glavsprav.ru (Источник).

2. Uztest.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 504, 505, 507;

2. Укажите область определения функции, обратной к заданной, не записывая ее:

а) ; б) ; в) ; г)

3. Укажите область значений функции, прямой относительно заданной, не записывая ее:

а) ; б) ; в) ; г) ;