01. Показательная функция, её свойства и график. Начальные сведения
02. Показательная функция, её свойства. Простейшие показательные уравнения
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
04. Показательные уравнения
05. Показательные уравнения. Более сложные случаи
06. Показательные неравенства
07. Показательные неравенства. Более сложные случаи
08. Показательно-степенные неравенства
09. Понятие логарифма
10. Понятие логарифма. Простейшие задачи
11. Функция y = logₐx, её свойства и график
12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)
13. Функция y = logₐx, её свойства и график. Решение задач
14. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
15. Свойства логарифмов. Логарифм степени
16. Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач
17. Логарифмические уравнения
18. Решение логарифмических уравнений
19. Решение логарифмических уравнений (продолжение)
20. Логарифмические неравенства
21. Решение логарифмических неравенств
22. Решение логарифмических неравенств (продолжение)
23. Число e. Функция y = eˣ, её свойства, график, дифференцирование
24. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)
Видео доступно по абонементу
Логарифм, определение, основные факты
Логарифмическая функция базируется на понятии логарифма и свойства показательной функции , где (основание степени а больше нуля и не равно единице).
Определение:
Логарифмом числа по основанию называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .
, , ,
Примеры:
, т.к. ; ; , т.к. ;
Напомним основное правило: чтобы получить число, стоящее под логарифмом, необходимо основание логарифма возвести в степень – значение логарифма:
Напомним важные особенности и свойства показательной функции.
, ,
Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :
Такая функция монотонно возрастает на всей своей области определения.
Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :
Такая функция монотонно убывает на всей своей области определения.
В любом случае, показательная функция монотонна, принимает все положительные значения и, в силу своей монотонности, каждое положительное значение достигает при единственном значении аргумента. То есть, каждое конкретное значение функция достигает при единственном значении аргумента , корнем уравнения и есть логарифм:
По сути, мы получили обратную функцию. Прямая функция – это когда у нас есть независимая переменная (аргумент), зависимая переменная (функция), мы задали значение аргумента и по нему получаем значение функции. Обратная функция: пусть независимой переменной будет , ведь мы уже оговорили, что каждому положительному значению у соответствует единственное значение , определение функции соблюдается. Тогда становится зависимой переменной.
Вывод:
Для монотонной прямой функции , , существует обратная функция . Суть функциональной зависимости не изменится, если мы введем переобозначение:
Получаем:
Но нам привычнее обозначать независимую переменную за , а зависимую – за :
Таким образом, мы получили логарифмическую функцию.
Свойства показательной функции
Используем общее правило получения обратной функции для конкретной показательной функции .
Заданная функция монотонно возрастает (согласно свойствам показательной функции), значит, существует обратная ей функция. Напоминаем, что для ее получения необходимо выполнить два действия:
Выразить через :
Поменять местами и :
Логарифмическая функция как обратная к показательной
Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой . проиллюстрируем:
Примеры нахождения обратной функции
Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.
Решим задачу при
Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:
Выразить через :
Поменять местами и :
Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой . проиллюстрируем:
Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.
У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций и .
Связь прямой и обратной функции
Свойства прямой (показательной) функции:
Область определения: , ;
Область значений: , ;
Функция возрастает;
Выпукла вниз.
Свойства обратной (логарифмической) функции:
Область определения: , ;
Область значений: , ;
Функция возрастает;
Выпукла вверх.
Обратим внимание, что область определения и область значений прямой и обратной функции меняются местами. Кроме того, если прямая функция возрастает, то и обратная возрастает. И, наконец, если прямая функция выпукла вниз, то обратная – вверх.
Таким образом, мы подтвердили связь прямой и обратной функции.
Итак, мы изучили логарифмическую функцию и ее связь с показательной функцией. На следующем уроке мы продолжим рассматривать логарифмическую функцию и научимся решать типовые задачи.
Список литературы
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 504, 505, 507;
2. Укажите область определения функции, обратной к заданной, не записывая ее:
а) ; б) ; в) ; г)
3. Укажите область значений функции, прямой относительно заданной, не записывая ее:
а) ; б) ; в) ; г) ;
"