11. Функция y = logₐx, её свойства и график

Свойства показательной функции

Понятие логарифма, свойства логарифмической функции определяются свойствами показательной функции и зависят от них.

Напомним свойства показательной функции на конкретном примере:

Основание функции больше единицы, построим график (рис. 1):

Свойства заданной функции:

1. Область определения: , ;

2. Область значений: , ;

3. Функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента, которое и называется логарифмом.

Например:

; ; ;

В общем случае:

,

Определение логарифма, доказательство существования логарифмической функции

Теперь мы можем вспомнить определение логарифма в общем виде.

, , , ,

При выполнении поставленных условий уравнение имеет единственное решение:

Определение:

Логарифмом числа по основанию называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Например:

, т.к. ; , т.к. ; при , т.к. ; при , т.к. ;

Из всего вышесказанного можем сделать важный вывод:

На множестве  существует функция , где – положительное число, не равное единице.

Справа показательная функция, свойства которой мы повторили, основание – положительное число, не равное единице, функция приобретает все положительные значения, отсюда следует, что функция, стоящая слева, существует на заданном множестве значений аргумента.

Например:

Логарифмическая функция с основанием, большим единицы, ее свойства и график

Начнем изучение логарифмической функции с рассмотрения ее частного случая, а именно , .

Составим таблицу для построения функции и ее исследования:

Чтобы вычислить значения функции, воспользуемся формулой:

, т.к. ;

,

Остальные значения вычисляются аналогично.

Построим график функции по полученным точкам (рис. 2):

Прочтем график заданной логарифмической функции и сформулируем ее свойства. Если аргумент возрастает от нуля (не включительно) до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности. Свойства любой логарифмической функции с основанием, большим единицы, будут аналогичными.

Итак, свойства функции :

1. Область определения: ;

2. Функция возрастает на всей области определения;

3. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу;

4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5. Функция непрерывна;

6. Область значений: ;

7. Функция выпукла вверх.

Еще раз подчеркнем: под знаком логарифма может стоять только положительное число, сам логарифм может принимать любые значения.

Также следует отметить, что ось является асимптотой, т. к. если аргумент приближается к нулю неограниченно, функция убывает до минус бесконечности.

Логарифмическая функция с основанием, лежащим в пределах от нулю до единицы, ее свойства и график

Перейдем к изучению логарифмической функции с основанием меньшим единицы, рассмотрим ее на конкретном примере:

,

Составим таблицу для построения функции и ее исследования:

Чтобы вычислить значения функции, воспользуемся формулой:

, т.к.

,

Остальные значения вычисляются аналогично.

Построим график функции по полученным точкам (рис. 3):

Прочтем график заданной логарифмической функции и сформулируем ее свойства. Если аргумент возрастает от нуля (не включительно) до бесконечности, функция убывает от бесконечности до минус бесконечности. Свойства любой логарифмической функции с основанием, принадлежащим промежутку от нуля до единицы, не включая границы, будут аналогичными.

Итак, свойства функции :

1. Область определения: ;

2. Функция убывает на всей области определения;

3. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу;

4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5. Функция непрерывна;

6. Область значений: ;

7. Функция выпукла вниз.

Также следует отметить, что ось у является асимптотой, т. к. если аргумент приближается к нулю неограниченно, функция стремится к плюс бесконечности.

Решение примера

Теперь рассмотрим типовую задачу на свойства логарифмической функции.

Пример 1: найти множество значений функции:

,

То есть, имеем логарифмическую функцию, заданную не на всей области определения, а только на ее части.

Для наглядности построим график заданной функции (рис. 4):

Мы знаем, что заданная функция монотонно возрастает, т. к. основание логарифма больше единицы, т. е. для выполнения задания достаточно вычислить значения функции в граничных точках.

Ответ: при ,

Итак, мы ввели понятие логарифмической функции, рассмотрели ее свойства и график. Далее мы продолжим изучение логарифмической функции.

Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ГлавСправ» (Источник)

2. Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 499, 500;

2. Найти область значений функции:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

3. Найти область определения функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .