08. Геометрическая вероятность

Введение

При решении задач на вероятность мы чаще всего пользуемся классическим определением вероятности, то есть находим отношение числа благоприятных нам исходов некоторого опыта к общему числу исходов. Однако есть задачи, в которых благоприятных исходов, равно как и вообще исходов – бесконечно много. Например:

1) Какова вероятность того, что капля из протёкшей крыши попадет на стол, находящийся в комнате?

Если пренебречь размерами капли и считать её точкой, то общее число исходов и число благоприятных исходов будет бесконечным.

2) Есть веревка длиной 5 метров, первый метр которого выкрашен в красный цвет. За ночь веревку в случайном месте перегрызла мышь (см. Рис. 1). Какова вероятность, что она перегрызла веревку в месте красного цвета?

Если считать место разрыва верёвки очень маленьким, то есть принять его за точку, то мы не сможем посчитать количество благоприятных исходов, так как точек на отрезке длиной 5 метров бесконечно много, как и точек на отрезке длиной 1 метр.

Для подобных задач вводится определение – геометрическая вероятность.

Геометрическая вероятность

Предположим, что есть множество точек  меры  и его подмножество  меры  (в качестве геометрической меры выступают: длина, если речь идёт о множествах на прямой; площадь – если это объекты на плоскости; объем – если в пространстве). Тогда вероятность того, что случайно выбранная точка множества

 попадёт в множество  равна  .

Вернёмся к ранее рассмотренным задачам.

Задача 1

Есть веревка длиной 5 метров, первый метр которого выкрашен в красный цвет. За ночь веревку в случайном месте перегрызла мышь (см. Рис. 1). Какова вероятность, что она перегрызла веревку в месте красного цвета?

Решение

Верёвка имеет длину 5 метров, то есть мера всего множества – 5. Красная зона имеет длину 1 метр, следовательно, мера подмножества – 1. Поэтому вероятность того, что мышка перегрызёт красную зону равна:

Ответ: 0,2

Задача 2

Какова вероятность того, что капля из протёкшей крыши попадет на стол, находящийся в комнате? Ширина комнаты – 3 м, длина комнаты – 3 м, ширина стола – 60 см, длина стола – 150 см.

Решение

Вопрос данной задачи можно перефразировать следующим образом: какова вероятность того, что случайно выбранная точка квадрата 3 м×3 м будет принадлежать прямоугольнику 150 см×60 см (см. Рис. 2)?

Вычислим меры множеств (в качестве меры выступает площадь, так как в задаче речь идёт о плоскостях):

1) Мера меньшего множества (стола)

2) Площадь комнаты

Вероятность того, что капля упадёт на стол равна:

Ответ:

Задача 3

Дана нитка длиной 10 см. Нитка порвалась в случайном месте. Какова вероятность того, что после обрыва имеется часть нитки длиной не менее 8 см?

Решение

Рассуждение: «чтобы осталось не менее 8 см, оборваться должно не более 2 см, то есть ответ » - неверно, так как оборваться могло с любого края. Следовательно, благоприятные исходы – это объединение двух множеств, отмеченных красным цветом на рисунке 3, то есть множество меры 4 см. Исходное множество имеет меру (длину) 10 см, поэтому вероятность того, что после обрыва имеется часть нитки длиной не менее 8 см равна:

Ответ:

Задача 4

Комар находится в закрытой кубической комнате со стороной 3 м. В течение некоторого времени он свободно летает по комнате, после чего он может равновероятно оказаться в любой точке комнате. Какова вероятность того, что через час он будет находиться на расстоянии не более метра от стены?

Решение

Благоприятные исходы – это когда комар находится на расстоянии не более метра от какой-либо стены. Нам дан куб со стороной 3 м. Разделим его на две зоны - та, в которой для любой точки расстояние до всех стен более метра, и та, в которой лежат все остальные точки комнаты.

Тогда первая зона – это параллелепипед, в основании которого квадрат 1 м×1 м, а высота – 3 м (см. Рис. 4). Объем этого параллелепипеда равен . Так как объем всей комнаты – . Значит, объем второй зоны равен:

Следовательно, вероятность того, что комар будет находиться на расстоянии не более метра от стены, будет равна:

Ответ: 

Пример

Круглая мишень закреплена на треугольной подставке со сторонами ; ;  (круг мишени вписан в треугольник) (см. Рис. 5). Какая вероятность того, что стрелок попадёт в мишень (при условии того, что он попадает во внутрь треугольника).

Решение

Поскольку выстрел стрелка приходится в треугольник, а круг (мишень) лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга. Поэтому для нахождения вероятности того, что стрелок попадёт в мишень, необходимо разделить площадь круга на площадь треугольника.

1) Треугольник является равнобедренным. Проведём высоту к стороне  (см. Рис. 6). Высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, следовательно, она делит основание на два отрезка, каждый длиной 5. Тогда по теореме Пифагора высота будет равна:

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения высоты на основание:

2) Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:

Площадь круга равна:

3) Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень равна:

Ответ:

Задача Бюффона

На плоскость, расчерченную параллельными прямыми  и , расположенными на расстоянии   друг от друга, наудачу брошена игла. Длина этой иглы , известно, что  (см. Рис. 7). Какова вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую?

 Решение

1) Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением центра иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления – для удобства выберем в качестве направления прямую, параллельную исходным двум, и зададим положение иголки углом между иголкой и этой прямой (он будет от 0 до , обозначим его через ). Причём две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга. Обозначим через  расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, это расстояние находится в промежутке от 0 до a (). Следовательно, можно посчитать меру всего пространства исходов. Это будет некий прямоугольник, одна сторона которого , а другая  (). Площадь этого треугольника:

2) Посчитаем благоприятные исходы. Игла пересекает ближайшую прямую, если расстояние от середины иглы до ближайшей прямой не превосходит  (см. Рис. 8):

На рисунке 9 изображён график, на котором изображён прямоугольник со сторонами  и , а также кривая  (синусоида). Благоприятные исходы (пересечение иглы с прямой) – это площадь зелёной части (площадь всего прямоугольника – множество возможных положений иглы).

Найдём площадь зелёной части с помощью интеграла:

3) Для нахождения вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую, необходимо разделить меру подмножества (площадь заштрихованной части) на меру всего множества (площадь треугольника):

Ответ: 

Домашнее задание

1) Глава 21, задания 33, 35, 50, 53 (стр. 394-397) - М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев, Т. А. Олейник, Т. В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. (Источник)

2) Противотанковые мины поставлены на прямой через 15 м. Танк шириной 3 м идёт перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность, что он подорвётся?

3) В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность того, что он: 1) прямоугольный; 2) равнобедренный; 3) тупоугольный?

Список рекомендованной литературы

1) Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С. Ал­геб­ра и  ма­те­ма­ти­че­ский ана­ли­з для 11 кл. Учеб.пособие для учащихся шк. и кл. с углуб. изуч. математики  – М.: Просвещение, 1998.

2) Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3) М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев, Т. А. Олейник, Т. В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10-11 классов. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1) Интернет-сайт «МатБюро» (Источник)

2) Интернет-сайт fmclass.ru (Источник)