22. Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач

Решение квадратного уравнения с параметром графическим методом

Пример 1 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Согласно постановке задачи нам не нужно находить значения корней, а только их количество, решаем задачу графическим методом.

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части: . График данной функции нам известен – это парабола, ветви направлены вверх, корни ее легко найти: , отсюда можно найти координаты вершины:

Далее необходимо рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ.

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при  уравнение имеет единственное решение; при  уравнение имеет два решения.

Решение уравнений с модулями и параметром графическим методом

Пример 2 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Поскольку присутствует модуль, сначала строим график подмодульной функции: . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются: , отсюда можно найти координаты вершины: . После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем: , для этого все отрицательные значения функции зеркально отображаются относительно оси

Далее необходимо рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ.

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при и два решения; при  четыре решения; при три решения.

Пример 3 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Следует учесть, что . Сначала построим график функции . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются: , отсюда можно найти координаты вершины: . После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем . Для этого вспомним, как раскрывается модуль. При положительных х его можно просто отбросить – эта часть графика уже построена. При отрицательных имеем график: . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются и находится вершина. Данное построение можно выполнить проще, зная правило: построить график функции без модуля для положительных х и отобразить его симметрично относительно оси Выполним построение:

Далее необходимо рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ.

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при и два корня; при четыре корня; при три корня.

Решение системы неравенств с параметром графическим способом

Пример 4 – решить систему неравенств с параметром:

Система выглядит довольно сложно, упростим ее. Для этого избавимся от логарифмов и корней. В первом неравенстве сравниваются логарифмы с одинаковым основанием, имеем право отбросить знак логарифма, при этом сменив знак неравенства, т.к. основание логарифмов меньше единицы, но не забудем защитить подлогарифмические выражения (учет ОДЗ).

Чтобы избавиться от корней во втором неравенстве возводим его в квадрат, при этом опять же не забываем учесть ОДЗ. Имеем:

Таким образом, имеем систему четырех неравенств:

Приведем подобные члены:

Строим график полученной эквивалентной системы. Решением первого неравенства является полуплоскость, расположенная левее вертикальной прямой , сама прямая не входит, т.к. неравенство строгое. Решением второго неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой , сама прямая не входит, т.к. неравенство строгое. Решением третьего неравенства является полуплоскость, расположенная под горизонтальной прямой , сама прямая не входит, т.к. неравенство строгое. Решением последнего неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой , сама прямая входит, т.к. неравенство не строгое. Иллюстрируем:

Чтобы уточнить, что решением системы является треугольник, как это видно по графику, необходимо уточнить координаты точек пересечения.

Пусть точка точка пересечения прямых и , найдем ее координаты, для этого решим систему:

Данная система элементарно решается методом алгебраического сложения:

Пусть точка точка пересечения прямых и , найдем ее координаты, для этого решим систему:

Данная система элементарно решается методом подстановки:

Пусть точка точка пересечения прямых и , найдем ее координаты, для этого решим систему:

Данная система элементарно решается методом подстановки:

Таким образом, вершины треугольника имеют координаты: .

Теперь осталось рассечь полученный график семейством прямых и выписать ответ.

Глядя на график, выписываем ответ: при и решений нет; при система имеет множество решений

Итак, мы рассмотрели решение задач с параметром графическим способом, привели различные примеры как простых, так и довольно сложных задач, вывели общую методику их решения.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина 2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа.  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Параметры

Проверьте себя

1. Найти количество решений уравнения в зависимости от значения параметра

2. Найти количество решений уравнения в зависимости от значения параметра

3. Решить систему неравенств с параметром: