21. Графический метод в задачах с параметром

Суть решения задач с параметром, графический метод

Ранее мы решали уравнения и неравенства с двумя переменными вида , говорили, что существуют частные решения и общие решения уравнения или неравенства. Решить уравнение или неравенство с двумя переменными означает найти множество всех его решений. Причем каждое частное решение – это пара чисел, а геометрически это точка и мы изображали на графике множество решений в виде некой фигуры. Мы говорили, что одну из переменных обозначим параметром, вот и обозначили: . Так, имеем уравнение и неравенство с параметром а. для решения таких задач необходимо следовать алгоритму:

1. Построить график уравнения или неравенства;

2. Рассечь его прямыми ;

3. Найти точки пересечения;

4. Выписать ответ;

Графическое решение уравнения с параметром

Поясним методику на конкретных примерах.

Пример 1 – решить уравнение с параметром:

Согласно методике на первом шаге мы должны построить график заданного уравнения , в данном случае это квадрат

Чтобы легко построить данный график, нужно заметить, что есть симметрия и по х, и по а, то есть можем подставить вместо  или вместо и ничего не изменится. Если найдено решение (х; а), то точки (-х; а), (-х; -а), (х; -а) также будут решением.

Исходя из вышесказанного, методика построения графика такова: предполагаем, что х и а положительные числа, тогда модули можно отбросить и имеем:

Строим отрезок АВ в первой четверти и симметрично отображаем его относительно обеих осей. Таким образом, зная решение в одной четверти, мы можем получить решение в остальных четвертях.

Теперь необходимо записать уравнение полученного отрезка для каждой четверти.

Первая четверть: отрезок

Вторая четверть: отрезок . Чтобы получить данное уравнение необходимо взять симметрию для уравнения первой четверти относительно оси при этом вместо х подставляем .

Третья четверть: отрезок

Четвертая четверть: отрезок

Далее согласно методике необходимо рассечь полученное геометрическое место точек семейством прямых  и найти точки пересечения.

Некоторая прямая пересечет график в двух точках, например прямая рассекает ВС и АВ. Прямая рассекает CD и AD. Другая прямая вообще не пересечется с графиком, например прямая . Рассмотрим, каким образом мы можем выразить координаты точек пересечения прямых с графиком через параметр

Отрезок CD рассечен прямой , в результате получена точка пересечения , данное значение мы выразили из уравнения отрезка CD. Аналогично отрезок АD рассечен прямой , в результате получена точка пересечения .

Отрезок ВС рассечен прямой , в результате получена точка пересечения .

Отрезок АВ рассечен прямой , в результате получена точка пересечения .

Теперь глядя на график, можем выписать ответ: при уравнение не имеет решений; при или уравнение имеет единственное решение −; при  уравнение имеет два решения − ; при уравнение имеет два решения ; при  уравнение имеет два решения − .

Постановка задачи при решении уравнения с параметром может быть различной, например, найти значения параметра, при которых уравнение не имеет решений, но для того, чтобы решать разнообразные более узкие задачи, необходимо решить полную задачу – перебрать все значения параметра и при каждом найти решение уравнения.

Графическое решение неравенств с параметром

Пример 2 – решить графическим методом неравенство с параметром:

Согласно методике сначала нужно построить график заданного неравенства в осях х, а. в предыдущем примере мы строили график уравнения, стоящего в левой части. Для построения графика данного неравенства необходимо лишь заштриховать все значения внутри квадрата, так как это и есть решение неравенства.

Далее необходимо рассечь график семейством прямых и найти точки пересечения. Рассечение выполнено на рисунке 21.3, точки пересечения найдены в примере 1 при решении уравнения:

.

Глядя на график, можем выписать ответ: при неравенство не имеет решений; при или неравенство имеет единственное решение − ; при неравенство имеет множество решений − ; при неравенство имеет множество решений ; при неравенство имеет множество решений − .

Пример 3 – решить графически неравенство с параметром:

Данное неравенство мы уже решали ранее, применяя метод областей. Согласно данному методу:

Рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль, это функция от двух переменных:

Аналогично методу интервалов временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.

ОДЗ: , значит ось х выкалывается.

Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:

Строим график функции.

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область . Между отрезком ломаной и прямой – область , ниже прямой – область , между отрезком ломаной и прямой – область .

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку, таким образом получили, что в областях и функция положительна, в областях и – отрицательна. Имеем решение неравенства:

Далее согласно методике необходимо рассечь полученное геометрическое место точек семейством прямых и найти точки пересечения.

Теперь глядя на график можем выписать ответ: при имеем бесчисленное множество решений ; при решений нет; при имеем множество решений .

Итак, мы рассмотрели графический метод для решения задач с параметром, далее с помощью данного метода будем решать более сложные задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Параметры

Проверьте себя

1. Решить уравнение с параметром:

2. Найти значения параметра, при которых неравенство имеет бесчисленное множество решений:

3. Найти значения параметра, при которых неравенство не имеет решений: