05. Исследование функций

Определение производной, ее физический и геометрический смысл

Есть независимая переменная, например, время. Есть зависимая переменная, например, расстояние от дома. Есть график функции.

 – момент времени. В этот момент времени мы находимся на расстоянии от дома.

Через некоторое время мы будем находиться на расстоянии от дома. Мы имеем приращение аргумента –, и приращение функции – .

Получим треугольник, у которого катеты равны приращению аргумента, приращению функции, а гипотенуза АВ – секущая, где – тангенс угла наклона этой секущей.

Нас интересует отношение приращения функции к приращению аргумента.

Во-первых, мы получим среднюю скорость. Таков физический смысл.

А геометрический смысл состоит в том, что мы получим тангенс угла наклона секущей.

За конечное время может произойти множество событий, и все их надо уловить, отразить. Для этого устремим к 0. То есть мы будем рассматривать ближайшие точки к точке. Но если приращение аргумента стремится к 0, то приращение функции также стремится к 0. Тогда секущая АВ будет стремиться занять положение касательной к графику в точке А. Рассмотрим, что произойдет с отношением:

Более строгое определение:

Такой предел называется производной функции и обозначается.

Каков физический и геометрический смысл производной?

– это мгновенная скорость в момент.Таков физический смысл производной.

Геометрический смысл:

– тангенс угла наклона касательной в точке.

Методику исследования функции и построение ее графика напомним на конкретном примере.

Методика исследования функции и построение ее графика на примере

Дано:

. Построить эскиз графика функции (без ).

Решение:

1. Выделить интервалы знакопостоянства функции  и определить знаки функции на них.

Это делается так: находим корни числителя  и корни знаменателя . Получим три интервала. Методом пробной точки определяем знак на каждом из них.

2. Построить эскиз в окрестности:

а. каждого корня x=1;

б. каждой точки разрыва x=0;

в. бесконечно удаленных точках.

Что это означает и как это выполнять?

У нас только один корень –  x=1. Ясно, что функция в ее окрестности будет выглядеть так, как изображено на рисунке 3. Это обусловлено тем, что слева от этой точки функция отрицательна, а справа – положительна. То есть в окрестности этой точки функция возрастает.

Теперь рассмотрим точку разрыва x=0. В окрестности этой точки события развиваются следующим образом: если x  очень мал, то дробь очень большая, его значения в окрестности этой точки отрицательны. Значит, кривая будет выглядеть так, как изображено на рисунке 3.

Далее, разберем, что означает рассмотреть x в окрестности бесконечно удаленных точек:

Следовательно, график функции в окрестности этой точки будет выглядеть так, как изображено на рисунке 3.

Мы уже можем угадать график.

1. Использовать непрерывность y(x) на ОДЗ.

То есть соединить те линии, которые на рисунке 3 изображены пунктиром.

Дано:

. Построить эскиз графика функции (с ).

Решение:

2. Следует выделить интервалы знакопостоянства производной  и определить знаки производной   на них.

Найдем производную.

Определим интервалы знакопостоянства. Для этого найдем корни числителя 

 и корни знаменателя x=0 . Мы получили три интервала. Точка x=2 – точка максимума, поскольку справа функция убывает, а слева – возрастает. Значение функции в этой точке можем вычислить 

.

3. Найти точки экстремума, уточнить график, выписать ответ.

Мы это уже проделали.

Мы готовы сформулировать этапы построения функции и выписать ответ.

Ответ: функция :

- убывает при ;

- возрастает при ;

- имеет точку максимума при 

Сопутствующая задача

Умея проделывать все эти этапы, мы можем решать ряд задач. Вот некоторые из них.

Задача 1: Найти все значения параметра c, при каждом из которых уравнение имеет:

а. хотя бы один корень;

б. только один корень.

Методика решения подобных задач состоит в следующем: построить график функции

. Мы этот график построили, функцию исследовали и все про нее знаем. Далее нам необходимо рассечь наш график семейством функций при различных c. Нужно найти количество точек пересечения и выписать ответ.

а. Нам нужно найти такие c , при которых наше уравнение имеет хотя бы один корень. Множество значений функции. Поэтому ответ в этом пункте – .

б. Нам нужно такое значение c, чтобы уравнение имело только один корень. Из графика видно, что при c=0

 и c = будет только один корень.

Ответ получен.

Задача 2: Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Эта задача проще, чем просто исследовать функцию. Для решения нужно сделать следующие действия. Найти значение функции на концах отрезка и в критических точках, которые расположены на этом отрезке.

Таким образом, если аргумент меняется в пределах, то функция меняется.

Тогда мы можем записать ответ.

Ответ:.

Мы видели, что методика исследования функции важна для решения многих задач. Закрепим эту методику, решив следующую задачу.

Задача 3: Исследовать функцию.

Решение:

1. Построить эскиз графика функции без.

Для начала надо выделить интервалы знакопостоянства функции.

То есть функция может изменить знак, только когда аргумент проходит через 0 или 2. Далее построим эскиз графика в окрестностях точек 0 и 2. Заметим, что точка 0 является точкой максимума. Производная должна это подтвердить. Если, то функция тоже стремится к плюс бесконечности. Если, то функция тоже стремится к минус бесконечности. Таким образом, график функции угадывается и выглядит, как на рисунке 5.

Нахождение максимума и минимума на отрезке

2. Построение графика с.

Определим знакопостоянство

– точка максимума

 – точка минимума

Итак, график мы обосновали. Он имеет вид, как на рисунке 7. Запишем ответ.

Ответ:

На этом занятии мы вспомнили, как исследовать функцию с помощью производной. На следующем занятии мы вспомним, как находить касательную к графику в точке.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Подготовка к ЕГЭ по математике (Источник).

2. Википедия (Источник).

Домашнее задание

1. Постройте график функции

2. Найдите все значения параметра c, при которых уравнение имеет:

а. хотя бы одно решение;

б. имеет единственное решение.

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 769, 776, 777, 781