06. Касательная

Повторение

Напомним, как получить уравнение касательной к кривой

 в точке с абсциссой.

Имеем график функции. Независимая переменная x или время t. Функция (зависимая переменная) y, или расстояние от дома S.

В момент времени расстояние от дома равно. Следующий момент времени, и расстояние в этот момент равно.

Получим две точки, и пока что не касательную, а секущую AB. Угол наклона этой секущей –. Имеем приращение аргумента –, приращение функции –, и рассмотрим отношение приращений:

Средняя скорость является физическим смыслом этого отношения. А тангенс угла наклона – геометрическим смыслом.

Перейдем к касательной. Для этого устремим к 0.

При,. Тогда точка будет стремиться к точке. Тогда секущая AB будет стремиться к касательной.

 – угол наклона касательной.

Рассмотрим отношение приращений при.

Более строгое определение производной

Нам важно знать, что

То есть значение производной в точке – это мгновенная скорость в момент. Это физический смысл. Геометрический смысл – это тангенс угла наклона касательной в этой точке. Итак, для касательной мы уже знаем тангенс угла наклона.

Уравнение касательной

Построим касательную к графику с абсциссой в точке

Касательная – это прямая. Ее уравнение имеет вид.

Следовательно, надо узнать угловой коэффициент  k и свободный член m. Узнаем их из условий касания. Вот эти условия:

 с абсциссой в точке

Параметры, используемые в уравнении касательной

Из этих условий сразу нашли первый параметр, то есть k. Теперь уравнение касательной имеет вид:

Осталось найти свободный член m.

Наша прямая проходит через заданную точку А. Подставим ее в уравнение:

Подставим найденное в исходное уравнение:

Чтобы уверенно решать многочисленные задачи на касательную, надо понимать смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.

Напомним:

1. – точка касания

2. 

3.- точка на касательной

Заметим, что в окрестности точки и кривая, и касательная – это примерно одно и тоже, то есть:

Это является основой многочисленных приближенных вычислений.

Задача №1

Дано:

1. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой.

 в точке с абсциссой

Решение:

1. Найти точку касания:

2. Найти производную в любой точке:

3. Найти производную в конкретной точке:

4. Выписать уравнение касательной

Ответ:.

Дано:.

2. Найти:а) площадь; б) его гипотенузу.

Решение:

1. Найдем координаты точки С:

2. Найдем координаты точки В:

3. Найдем площадь:

4. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

Ответ:.

3. Написать уравнения касательных, проведенных из точки к параболе

Решение:

Выпишем уравнение касательной:

Далее по стандартной методике находим сначала первую касательную:

1.

2. 

3.

Найдем вторую касательную:

1.

2.

3.

Ответ: .

Задача №2

Дано: 1. график функции

2. Касательная к нему в точке

Найти:

Решение:

1.

2.

Ответ:.

Задача №3

Дано:

1. График функции

2. Касательная к нему в точке

Найти:

Решение:

1.

2.

3.

4.

Ответ:.

Мы повторили тему касательная. Следующий урок посвятим изучению важной темы – интеграла.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Напишите уравнение касательной к функции в точке.

2. Напишите уравнение касательной к функции в точке.

3. В какой точке кривой касательная наклонена к оси абсцисс под углом

   .

4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 814, 815, 823, 824.