09. Квадратичная функция

Основные факты о квадратичной функции и квадратном уравнении, преобразование квадратичной функции

Напомним основные определения и терминологию.

Квадратичной называется функция вида , причем старший коэффициент а не равен нулю.

Если приравнять у к нулю, получим квадратное уравнение: .

Поскольку , имеем право разделить обе части квадратного уравнения на а и получить т. н. приведенное квадратное уравнение: , старший коэффициент данного уравнения приведен к единице, корни исходного уравнения и приведенного одинаковы.

– квадратный трехчлен.

Например: , здесь ;

Приравняв функцию к нулю, получим неприведенное квадратное уравнение: , из которого можем получить приведенное квадратное уравнение, сократив обе части на старший коэффициент: .

Отметим, что обе части квадратного уравнения можно разделить на одно и то же число, не равное нулю, и получить равноценное уравнение. Функцию же делить таким образом нельзя, т. к. получится новая функция:

Исследование квадратичной функции и решение типовых задач часто базируются на важной операции – выделения полного квадрата. Напомним выполнение данной операции, важно помнить формулу:

Так, задана квадратичная функция: .

Вынесем старший коэффициент за скобки:

Сравнивая с вышеприведенной формулой, имеем квадрат сам но нет удвоенного произведения, скорректируем, домножим и поделим на два:

Так получено второе выражение, которое должно быть под полным квадратом – . имеем:

Раскроем скобки:

Напомним:

График квадратичной функции и ее свойства

Напомним:

Проиллюстрируем квадратичную функцию. Рассмотрим график функции при положительном

Мы преобразовали квадратичную функцию: , так, чтобы построить график этой функции, нужно сдвинуть график 8.1 на вправо и на вниз:

Рассмотрим свойства квадратичной функции при положительном старшем коэффициенте и дискриминанте:

1. Т.к. , ветви параболы направлены вверх;

2. Т.к. , существует два различных корня;

Мы выделили в квадратичной функции полный квадрат и получили:

, второе равенство справедливо, если есть корни;

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. – ось симметрии параболы;

4. Функция непрерывна;

5. Функция не монотонна, на некотором промежутке убывает, на другом – возрастает;

6. Функция отрицательна внутри интервала корней и положительна вне этого интервала: при при

Напомним некоторые факты о корнях квадратного уравнения.

Имеем квадратное уравнение в общем виде: и если данное уравнение имеет корни, то они вычисляются по формуле:

Если дискриминант квадратного уравнения положителен, есть два различных корня, то квадратный трехчлен легко раскладывается на множители:

Если же дискриминант равен нулю, имеем:

Корни квадратичной функции и квадратного уравнения, теорема Виета

Теорема Виета (прямая):

Если и – корни квадратного уравнения то они связаны с коэффициентами квадратного уравнения следующим образом:

Теорема Виета (обратная):

Если и – решение системы вида 1, то это корни квадратного уравнения

Решение типовых задач

Пример 1 – решить уравнение:

Решать данное уравнение с помощью дискриминанта будет процесс долгий и трудоемкий, но можно легко заметить, что один из корней равен единице: :

Второй корень легко найти, применив теорему Виета: произведение корней равно частному свободного и старшего коэффициентов:

Пример 2 – решить уравнение:

Выписываем по теореме Виета систему:

Теперь необходимо подобрать соответствующие значения корней, в данном случае они легко угадываются:

Пример 3:

Дано:

Найти: , где и – корни заданного квадратного уравнения.

Решение: можно было бы найти корни, подставить их в заданные выражения и вычислить, но это будет долго и достаточно непросто, так как уравнение, очевидно, имеет иррациональные корни.

Дискриминант уравнения положителен , значит, уравнение имеет два различных корня.

Кроме того, отметим, что все искомые выражения симметричны, то есть если в них поменять местами переменные, смысл не изменится: .

Поэтому следует найти сумму и произведение корней, воспользовавшись теоремой Виета, а заданные выражения преобразовать с помощью формул сокращенного умножения и выполнить вычисления.

Согласно теореме Виета, имеем:

Преобразуем первое выражение:

Преобразуем второе выражение:

Сумму квадратов возьмем из предыдущего примера, получим:

Преобразуем третье выражение:

Числитель дроби возьмем из предыдущего примера:

Следующая группа задач на исследование корней квадратного уравнения, в них необходимо судить о корнях квадратного уравнения, не зная и не находя сами корни.

Пример 4 – не решая уравнение, определить, имеет ли оно корни и каковы знаки корней:

а)

Чтобы определить наличие корней, необходимо определить знак дискриминанта:

, так, уравнение имеет два различных корня.

Чтобы определить знаки корней, запишем теорему Виета:

Произведение двух чисел положительно тогда, когда это числа одного знака, то есть оба отрицательны или оба положительны. Два положительных числа не могут в сумме составить отрицательное число, поэтому данное уравнение имеет два отрицательных корня.

б)

, так, уравнение имеет два различных корня.

Произведение двух чисел отрицательно тогда, когда это числа разного знака: . Сумма корней положительна, значит .

Итак, мы рассмотрели квадратичную функцию и квадратное уравнение, вспомнили основные теоретические факты, решили некоторые типовые задачи. Далее рассмотрим показательную функцию.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. ЕГЭ по математике

2. ЕГЭ по математике

Проверьте себя

1. Решить уравнение:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) ;

2. Найти значения выражений, если :

   а) ;

   б) ;

   в) ;

3. Определить наличие и знаки корней уравнений:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) .