19. Линейная функция в задачах с параметром

Суть решения задач с параметром

Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.

Решить задачу, например, уравнение или неравенство с параметром означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.

Решение линейного уравнения с параметром

Поясним на конкретных примерах.

Пример 1 – решить линейное уравнение с параметром:

Если бы мы знали конкретное значение параметра, мы могли бы легко решить уравнение, разделив свободный член на коэффициент при х. Поэтому, чтобы решить заданное уравнение с параметром, необходимо сначала собрать все члены с х в одной части уравнения, а все остальные члены – в другой:

Вынесем в левой части общий множитель за скобки:

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

теперь можно было бы разделить правую часть на коэффициент при х, деление можно выполнить, когда коэффициент не равен нулю, но он зависит от параметра а. В данном случае коэффициент равен нулю при . То есть нужно рассмотреть три случая, таким образом перебрать все значения параметра:

Ответ: при ; при ; при . 

Решенный пример подтверждает известную специфику линейного уравнения или системы линейных уравнений. Она заключается в том, что такое уравнение или система может иметь единственное решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.

Решение линейного неравенства с параметром

Рассмотрим линейные неравенства с параметром.

Пример 2 – решить линейное неравенство с параметром:

Аналогично решению уравнения, переносим члены с х в одну сторону и преобразовываем:

Теперь мы можем делить на коэффициент перед х, рассмотрим три случая – коэффициент положителен, равен нулю и отрицателен:

Ответ: при ; при ; при .

Решение системы линейных уравнений с параметром

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с параметром.

Пример 3 – решить систему уравнений с параметром:

Выразим во втором уравнении х и подставим в первое уравнение:

Получили одно линейное уравнение с одной неизвестной, упрощаем его:

Таким образом, в результате преобразований получена система:

Теперь необходимо решить первое уравнение системы. При этом нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент перед у равен нулю и не равен нулю:

Ответ: при  ; при система не имеет решений; при .

Рассмотрим подробнее случай, когда заданная система не имеет решений, то есть когда , подставим значение а в уравнения системы:

Поделим первое уравнение на два:

Получено явное противоречие, очевидно, что система не имеет решений.

Выразим в обоих уравнениях

Проиллюстрируем:

Прямые параллельны, и система не имеет решений.

Итак, мы рассмотрели решение различных задач с параметром и линейной функцией, далее перейдем к задачам с параметром и квадратичной функцией.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Параметры

Проверьте себя

1. Решить уравнение с параметром:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) ;

2. Решить неравенство с параметром:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) ;

3. Решить систему уравнений с параметром:

   а)

   б)