08. Линейные уравнения и системы линейных уравнений

Линейные уравнения с двумя и тремя неизвестными

Сначала рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными, его общий вид:

, здесь х и у – искомые переменные; а, b и с – конкретные числа.

Уравнение линейное, поэтому переменные х и у представлены в нем в первой степени.

Частным решением данного уравнения является пара чисел, соответствующая точке с координатами (х; у). Множество всех частных решений составляет прямую l. Прямая l перпендикулярна вектору с координатами (а; b):

Вектор называется нормальным вектором или перпендикулярным к данной прямой.

Например:

Решить данное уравнение – означает найти множество всех его решений, вот оно:

Теперь рассмотрим линейное уравнение с тремя переменными, его общий вид:

Здесь х, у и z – искомые переменные; числа а, b, с и d задают конкретное линейное уравнение.

Частным решением данного уравнения является тройка чисел х, у и z, множество частных решений – общее решение – составляет плоскость.

Вектор называется нормальным вектором или перпендикулярным к данной плоскости.

Например:

Нормальный вектор в данном случае имеет вид:

Решением данного уравнения является система:

Геометрическая интерпретация полученного решения:

Так, решением уравнения является плоскость АВС. Точки А, В и С и любая точка М, принадлежащая плоскости АВС, задают частные решения уравнения.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и параметром

Рассмотрим систему двух линейных уравнения с параметром:

Напомним, что формулировка «решить задачу с параметром» означает перебрать все значения параметра и для каждого указать ответ.

Сначала проанализируем заданную систему. Второе уравнение – это фиксированная прямая. Первое уравнение описывает семейство прямых, которые проходят различным образом в зависимости от значения параметра.

Чтобы решить систему, выразим в первом уравнении у и подставим полученное выражение во второе уравнение:

Получено уравнение относительно х с параметром а:

Представим полученное уравнение в более удобном виде:

произведение двух сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, а второй при этом существует. Имеем:

Теперь найдем у:

Ответ: при система имеет бесконечно много решений:;

 при система имеет единственное решение:

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Решим систему трех линейных уравнений с тремя переменными методом исключения:

В первом уравнении перед х стоит коэффициент единица, считаем его направляющим элементом. Нам необходимо оставить х только в первом уравнении, а в двух других избавиться от него. Для этого умножаем первое уравнение на минус два и складываем со вторым; умножаем первое уравнение на минус три и складываем с третьим:

Несложно заметить, что во втором и третьем уравнениях левые части одинаковы, а правые нет, имеем противоречие: , так, ответ: система не имеет решений.

Проанализируем данную систему. Множество решений первого уравнения системы образует плоскость, второго – , третьего – . Нормальный вектор к первой плоскости имеет вид:. Нормальный вектор ко второй плоскости имеет вид:. Нормальный вектор к третьей плоскости имеет вид:. Очевидно, что векторы и неколлинеарны, так как их соответствующие координаты не пропорциональны. Плоскости и пересекаются по прямой l и оказывается, что третья плоскость параллельна прямой пересечения l.

Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными

Решим систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Решаем систему методом исключения. В данной системе пока нет направляющего элемента – переменной с коэффициентом единица, разделим первое уравнение на коэффициент перед х:

Теперь за направляющий элемент выбираем х в первом уравнении, во втором уравнении избавляемся от него, для этого первое уравнение умножаем на три и складываем со вторым:

Теперь выразим у во втором уравнении и подставим полученное выражение в первое уравнение:

Ответ:

Проанализируем данную систему. Множество решений первого уравнения системы образует плоскость, второго – . Нормальный вектор к первой плоскости имеет вид:. Нормальный вектор ко второй плоскости имеет вид:. Oчевидно, что векторы и неколлинеарны, так как их соответствующие координаты не пропорциональны. Плоскости и пересекаются по прямой l. Любая точка, принадлежащая данной прямой, дает тройку чисел, удовлетворяющую исходной системе. Так, заданная система имеет бесчисленное множество решений.

Решение и анализ систем линейных уравнений позволяет сделать важные выводы. Система линейных уравнений может иметь:

-одно решение;

-бесконечно много решений;

-ни одного решения.

Итак, мы рассмотрели линейные уравнения с двумя и тремя переменными и системы линейных уравнений. Мы решили некоторые типовые задачи и сделали важный вывод о линейных системах уравнений. Далее будем рассматривать квадратичную функцию.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Function-X (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Решить систему уравнений с параметром:

а);

б);

в);

1. Решить систему уравнений:

а);

б);

в);

1. Решить систему уравнений:

а);

б);

в);