01. Показательная функция, её свойства и график. Начальные сведения
39 мин
02. Показательная функция, её свойства. Простейшие показательные уравнения
11 мин
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
13 мин
04. Показательные уравнения
11 мин
05. Показательные уравнения. Более сложные случаи
21 мин
06. Показательные неравенства
16 мин
07. Показательные неравенства. Более сложные случаи
22 мин
08. Показательно-степенные неравенства
16 мин
09. Понятие логарифма
19 мин
10. Понятие логарифма. Простейшие задачи
17 мин
11. Функция y = logₐx, её свойства и график
18 мин
12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)
11 мин
13. Функция y = logₐx, её свойства и график. Решение задач
17 мин
14. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
11 мин
15. Свойства логарифмов. Логарифм степени
12 мин
16. Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач
24 мин
17. Логарифмические уравнения
12 мин
18. Решение логарифмических уравнений
14 мин
19. Решение логарифмических уравнений (продолжение)
11 мин
20. Логарифмические неравенства
14 мин
21. Решение логарифмических неравенств
13 мин
22. Решение логарифмических неравенств (продолжение)
19 мин
23. Число e. Функция y = eˣ, её свойства, график, дифференцирование
18 мин
24. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
14 мин
17. Логарифмические уравнения
Видео доступно по абонементу
На данном уроке мы повторим основные теоретические факты о логарифмах и рассмотрим решение простейших логарифмических уравнений.
Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Данное уравнение имеет единственный корень, его называют логарифмом по основанию .
Определение:
Логарифмом числа по основанию называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание чтобы получить число
Напомним основное логарифмическое тождество.
Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение из выражения вместо в выражение и получим основное логарифмическое тождество:
Итак мы видим, что каждому значению ставится в соответствие значение Обозначим за () за и таким образом получаем логарифмическую функцию:
Например:
Вспомним основные свойства логарифмической функции.
Ещё раз обратим внимание, здесь , т. к. под логарифмом может стоять строго положительное выражение, как основание логарифма.
График функции при изображён чёрным цветом. pис. 1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности.
График функции при изображён красным цветом. pис. 1.
Свойства данной функции:
oбласть определения: ;
oбласть значений: .
Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно (строго) возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При монотонно (строго) убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Свойства логарифмической функции являются ключом к решению разнообразных логарифмических уравнений.
Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение, все остальные логарифмические уравнения, как правило, сводятся к такому виду.
Поскольку равны основания логарифмов и сами логарифмы, равны и функции, стоящие под логарифмом, но мы должны не упустить область определения. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем: .
Мы выяснили, что функции и равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.
Таким образом, мы получили смешанную систему, в которой есть уравнение и неравенство:
или
Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.
Сформулируем метод решения простейших логарифмических уравнений:
уравнять основания логарифмов;
приравнять подлогарифмические функции;
выполнить проверку.
Рассмотрим конкретные примеры.
Пример 1 – решить уравнение:
Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства первый логарифм:
Найдём корень и подставим его в неравенство:
Ответ: .
Пример 2 – решить уравнение:
Данное уравнение отличается от предыдущего тем, что основания логарифмов меньше единицы, но это никак не влияет на решение.
Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:
Найдём корень и подставим его в неравенство:
Получили неверное неравенство, значит, найденный корень не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: .
Пример 3 – решить уравнение:
Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:
Найдём корень и подставим его в неравенство:
Очевидно, что только первый корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: .
Итак, мы приступили к изучению важной темы – решение логарифмических уравнений. Мы рассмотрели методику решения простейших уравнений и несколько примеров её применения. Далее мы перейдём к изучению более сложных логарифмических уравнений.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Полезные ссылки
Проверь себя
1. Решить уравнение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2. Решить уравнение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
3. Решить уравнение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
"