09. Метод интервалов

В данном уроке мы рассмотрим метод интервалов. Он является эффективным методом решения многих неравенств.

Изложим метод интервалов на примере решения конкретного неравенства:

Решить данное неравенство означает найти все при которых неравенство выполняется.

Данный метод заключается в том, что мы вводим функцию, стоящую в левой части, когда справа ноль.

Следует изучить данную функцию, её свойства и интервалы знакопостоянства, после этого вернуться к решению неравенства.

Введённая функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:

Найдём корни:

Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения – корни знаменателя. Функция может изменить свой знак только при переходе через корень числителя или корень знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.

Чтобы определить знак функции на каждом интервале, необходимо взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить её в функцию и определить её знак. Например:

;

На интервале  функция имеет знак плюс.

На интервале  функция имеет знак минус.

В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всём выбранном интервале.

Обратим внимание на то, что функция не всегда меняет знак при переходе на соседний интервал.

Теперь мы можем вернуться к неравенству и получить ответ. Нас интересуют значения функции, меньшие либо равные нулю. Отсюда ответ:

При решении неравенств методом интервалов несложно получить решение такой задачи, как построение эскиза графика функции.

Пример 1 – построить эскиз графика функции:

1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)

2. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции  и :

Поскольку в точке  знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью В точке  наоборот.

3. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции  и :

Когда  или , знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева, функция положительна и стремится к плюс бесконечности, справа функция отрицательна и выходит из минус бесконечности. Около четвёрки, наоборот, слева функция стремится к минус бесконечности, а справа выходит из плюс бесконечности.

Согласно построенному эскизу, мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции (рис. 4).

Рассмотрим следующую важную задачу – построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удалённых точек, т. е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности (рис. 5). Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Иногда можно встретить такую запись данного факта:

Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей её области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.

Следующий пример предостережёт нас от типовых ошибок, в частности, от потери изолированного решения.

Пример 2 – решить неравенство:

ОДЗ:

Корни:

Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции на выбранных интервалах:

Отметим, что в данном случае один из корней имеет чётную степень, а именно , поэтому, проходя через ноль, функция не меняет знак.

Ответ:

Теперь построим эскиз графика функции по общей методике. Интервалы знакопостоянства уже определены (рисунок 8). теперь построим график в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ:

Рассмотрим поведение функции в окрестностях бесконечно удалённых точек.

Метод интервалов применим для решения самых разнообразных неравенств, в том числе иррациональных.

Пример 3 – решить неравенство:

Переносим в левую часть и рассматриваем её как функцию:

ОДЗ:

Корни:

В данном случае корень можно легко угадать. Слева стоит убывающая функция, справа – возрастающая, значит, если уравнение имеет корень, то он единственный, таким образом, имеем корень .

Покажем интервалы знакопостоянства и определим знаки функции на каждом интервале:

Для определения знаков берём пробные точки:

Здесь важно проверить значения в граничных точках. Левая граница интервала  – это корень уравнения, в данной точке функция равна нулю, значит, её не нужно включать в ответ.

Проверим правую границу:

Таким образом, получили ответ: .

Итак, мы рассмотрели решение различных неравенств методом интервалов, решили некоторые типовые задачи и показали типовые ошибки. Далее перейдём к системам и совокупностям неравенств.

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. ЕГЭ по математике.

2. Terver.ru.

Проверь себя

1. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Построить эскиз графика функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .