01. Показательная функция, её свойства и график. Начальные сведения
39 мин
02. Показательная функция, её свойства. Простейшие показательные уравнения
11 мин
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
13 мин
04. Показательные уравнения
11 мин
05. Показательные уравнения. Более сложные случаи
21 мин
06. Показательные неравенства
16 мин
07. Показательные неравенства. Более сложные случаи
22 мин
08. Показательно-степенные неравенства
16 мин
09. Понятие логарифма
19 мин
10. Понятие логарифма. Простейшие задачи
17 мин
11. Функция y = logₐx, её свойства и график
18 мин
12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)
11 мин
13. Функция y = logₐx, её свойства и график. Решение задач
17 мин
14. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
11 мин
15. Свойства логарифмов. Логарифм степени
12 мин
16. Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач
24 мин
17. Логарифмические уравнения
12 мин
18. Решение логарифмических уравнений
14 мин
19. Решение логарифмических уравнений (продолжение)
11 мин
20. Логарифмические неравенства
14 мин
21. Решение логарифмических неравенств
13 мин
22. Решение логарифмических неравенств (продолжение)
19 мин
23. Число e. Функция y = eˣ, её свойства, график, дифференцирование
18 мин
24. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
14 мин
24. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
Видео доступно по абонементу
На этом занятии мы изучим следующую тему: «Натуральные логарифмы. Функция , её свойства, график, дифференцирование». Для начала дадим определение новому для нас понятию «натуральный логарифм», в основании которого стоит число После этого рассмотрим основные свойства функции , построим график натурального логарифма, поговорим о его дифференцировании.
Определение.
Натуральным мы будем называть логарифм с основанием
Напоминание: что такое Давайте вспомним. Итак, рассмотрим функцию . Число – иррациональное. В чём его особенность? К графику касательная в точке наклонена под градусом к оси
Так вот, если касательная наклонена под градусом к оси то основание этой функции есть число
Производная в точке .
И , то есть скорость роста функции в точке равна значению функции в этой же точке.
Мы вспомнили, что такое число – основание натурального логарифма.
Теперь дадим строгое определение и обозначение.
Определение.
Натуральным логарифмом (обозначается ) называется логарифм по основанию
Несколько примеров, чтобы привыкнуть к новому обозначению.
Примеры:
Итак, мы дали строгое определение натуральному логарифму и привели несколько примеров.
Теперь изучим логарифмическую функцию с натуральным основанием, то есть
Функция . Во-первых, допускаются только положительные значения . Напомним, – иррациональное число. Для начала, чтобы построить график, используем таблицу.
Если то .
Если то .
Если , то вычисляем:
.
Если , то .
Таким образом, построим график функции по точкам и понимаем характер изменения функции: рис. 2.
Прочтём график функции и перечислим её свойства:
Вот график:
функция определена, когда ;
функция возрастает на всей области определения ();
функция не ограничена ни снизу, ни сверху;
не существует , ;
функция непрерывна;
;
функция выпукла. Если рассмотреть отрезок (), то функция находится над отрезком;
функция дифференцируема. То есть в любой точке есть касательная.
Логарифмическую функцию с натуральным основанием можно дифференцировать. Давайте научимся это делать.
Для этого докажем формулу .
Доказательство.
Мы знаем, что .
Значит, производная от сложной функции ;
Также знаем основное логарифмическое тождество:
.
Продифференцируем тождество :
Выразим :
.
Формула доказана. Теперь дифференцировать логарифмические функции с натуральным основанием мы можем.
В итоге имеем две важные формулы:
и .
Значит, мы умеем решать любые типовые задачи на производную логарифмической функции с основанием
Найти производную.
;
Найти производную функции в точке:
Дано:
Найти:
Решение:
1. Напомним формулу производной от дроби:
Найдём отдельно производные от числителя и знаменателя:
;
;
3. Можно упрощать, а можно просто подставить
Ответ:
Найти касательную:
Дано:
Найти: уравнение касательной к данной прямой в данной точке
Решение.
У нас есть стандартная методика.
Есть уравнение касательной:
Все действия данной методики направлены на то, чтобы найти нужные нам элементы касательной:
Находим точку касания. Так как , то .
Точка касания найдена.
Находим производную в любой точке
Находим производную в конкретной точке
Находим уравнение касательной:
– таково уравнение касательной.
Теперь дадим иллюстрацию на чертеже:
Как построить график функции ?
Надо стандартную кривую сдвинуть влево на единицу по оси (рис. 4).
Получим кривую. Её асимптота . Получили и саму кривую и касательную. То есть, иллюстрация дана.
Итак, мы познакомились с натуральными логарифмами, изучили функцию . На следующем уроке мы рассмотрим дифференцирование показательной и логарифмической функций.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Полезные ссылки
Проверь себя
1. Найти производную функции:
а) ;
б) .
a) Найти уравнение касательной к прямой в точке ;
б) Найти уравнение касательной к прямой в точке .
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1648, 1656.
"