12. Неравенства с модулями

Определения модуля

Существует несколько определений модуля. Эти определения должны быть равноценны, эквивалентны, т. е. из первого определения следует второе, а из второго первое.

Определение:

Модулем числа t называется само число t, если оно больше нуля, модулем нуля является ноль, и если под модулем отрицательное число, то модуль t равен минус t.

Обычно в задачах под модулем стоит целое выражение, зависящее от х, тогда:

Из вешесказанного следует простое правило: если под модулем стоит положительное число, то модуль можно отбросить. Если же под модулем стоит отрицательное число, то модуль следует отбросить, но поставить знак минус перед всем подмодульным выражением.

Определение:

Модуль числа t – это расстояние от точки t до точки 0.

В частности,

Например:

Решение простейших примеров

Из определения модуля следует основной прием решения задач с модулем, а именно, освободиться от модуля на основе его определения. Поясним на конкретном примере.

Пример 1 – построить график функции:

Согласно определению модуля, рассматриваем два случая:

Пример 2 – решить неравенства:

a)

Решим, опираясь на второе определение:

Проиллюстрируем:

Любая точка, не принадлежащая выбранному отрезку, не будет являться решением, так как расстояние от нее до точки 3 будет больше заданного расстояния.

Ответ:

б)

Проиллюстрируем:

Любая точка, не принадлежащая выбранным промежуткам, не будет являться решением, так как расстояние от нее до точки 3 будет меньше заданного расстояния.

Ответ:

Рассмотрим неравенства вида:

Данное неравенство можно решать двумя способами.

Способ 1 (по определению):

Способ 2:

Строгое доказательство данного способа опустим, приведем и прокомментируем его.

Поясним на графике (рисунок 5)

Итак, на рисунке 12.5 изображен график функции . Решения неравенства заштрихованы зеленым цветом. Если функция g(x) задана как константа, то нас удовлетворит промежуток значений – показано красным.

Схемы решения более сложных неравенств с уединенным модулем

Рассмотрим следующий тип неравенств с уединенным модулем:

Аналогично предыдущему неравенству, покажем два способа решения.

Способ 1:

Способ 2:

Доказательство данного способа можно получить, продолжив преобразовывать совокупность, полученную в первом способе. Мы проиллюстрируем данный способ решения:

Итак, на рисунке 6 изображен график функции . Решения неравенства заштрихованы зеленым цветом. Если функция g(x) задана как константа, то нас удовлетворят промежутки значений – показано красным.

Решение примеров

Пример 3 – решить неравенство:

Решаем неравенство вторым способом:

Проиллюстрируем решение системы:

Ответ:

Пример 4 – решить неравенство:

Решаем вторым способом:

Проиллюстрируем решение совокупности:

Ответ:

Решение неравенств с модулем методом интервалов

Неравенства с модулем можно решать методом интервалов.

Пример 5 – решить неравенства:

а)

б)

Согласно стандартному алгоритму, рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль:

Исследуем функцию. ОДЗ:

Чтобы найти корни, решим уравнение:

Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции:

Ответ: а) ; б) .

Решение неравенства с двумя модулями

Рассмотрим неравенство, в котором сравниваются два модуля.

Пример 6 – решить неравенство:

Напомним, что если обе части неравенства положительны, мы имеем право возвести их в квадрат, при этом равносильность не теряется. В данном случае каждый модуль неотрицателен, имеем право возвести в квадрат, при этом модули уничтожатся, согласно свойству

Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

Вынесем из скобок константные множители:

Разделим обе части неравенства на минус три, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

Получено простейшее квадратное неравенство. Парабола, ветви направлены вверх, интересующие нас значения находятся в интервале между корнями.

Ответ:

Итак, мы рассмотрели различные типовые неравенства с модулем, привели некоторые схемы решения и решили примеры. Далее перейдем к системам уравнений.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. ЕГЭ по математике

Проверьте себя

1. Решить неравенство:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) ;

2. Решить неравенство:

   а) ;

   б) ;  

   в) ;  

   г) ;

3. Решить неравенство:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) .