11. Обобщение понятия о показателе степени - начальные сведения

Определение и свойства степени с натуральным показателем

Чтобы обобщить понятие о показателе степени, вспомним, что такое степень.

 – степень с натуральным показателем, здесь – основание степени, – показатель степени;

штук

Кроме того, напомним, что:

 и при ;

Выражение  не существует.

- по определению, , ;

Основные свойства степеней:

1. ;

Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.

2. при , ;

Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;

3. ;

Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.

4. ;

При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;

5. , ;

Основные числовые множества, числовой ряд

Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;

Напомним основные числовые множества:

 – натуральные числа;

 – целые числа;

 – рациональные числа;

Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби , , , назвали иррациональными, например . Если к множеству рациональных чисел прибавить множество иррациональных чисел, получим множество действительных чисел  – действительные числа;

Напомним связь между множеством действительных чисел и числовой осью. Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси существует взаимооднозначное соответствие. То есть, если мы говорим, что есть число , то ему на оси соответствует единственная точка. Точно так же каждой точке соответствует единственное действительное число.

Степень с положительным рациональным показателем, примеры

Определение:

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем  называется число

Например: , , при .

Пример 1 – вычислить:

Пример 2 – вычислить:

Пример 3 – вычислить:

Пример 4 – представить в виде степени:

Пример 5 – представить в виде степени:

Пример 6 – представить в виде степени:

Пример 7 – представить в виде степени:

,

Степень с отрицательным рациональным показателем, примеры

Определение:

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем  называется число .

Например: ;

Пример 8 – вычислить:

Пример 9 – вычислить:

Пример 10 – вычислить:

Типовые ошибки и важные факты

Обратим внимание на типовую ошибку. Вычислить:

Ответ: не существует

Пояснение:

 – выражение 1;

Данное равенство неверно, так как наше определение не должно противоречить определениям, данным ранее, например основному свойству дроби:

 – выражение 2;

Из выражений 1 и 2 получили , неверное числовое равенство.

Запомним:  определено только при .

Типовые задачи на область определения функции

Пример 11 – построить графики функций:

,

График первой функции нам известен, он проходит через три фиксированные точки: , и , область определения .

График второй функции по определению соответствует графику функции  при .

Отличие заданных функций наглядно продемонстрировано на графиках 2 и 3.

Пример 12 – найти область определения выражения:

.

По определению положительного рационального показателя степени:

, отсюда ;

.

По определению отрицательного рационального показателя степени:

, отсюда ;

.

По определению положительного рационального показателя степени:

,

.

По определению отрицательного рационального показателя степени:

.

Итак, мы рассмотрели понятие степени с рациональным показателем, дали важные определения. На следующем уроке мы рассмотрим свойства таких степеней.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 430, 431, 436, 437;

2. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

3. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) .