03. Решение задач В3

Основные этапы решения уравнений с корнями

При решении данного типа задач следует обратить внимание на некоторые моменты:

1. От корня обычно избавляются путем возведения в квадрат;

2. После избавления от корня решается простое уравнение;

3. Обязательно выполнение проверки – все ли найденные корни удовлетворяют ОДЗ, нет ли посторонних корней, удовлетворяют ли корни заданному условию и т. д.;

Решение уравнений с корнями

Пример 1: решить уравнение:

Действуем согласно алгоритму: возводим заданное уравнение в квадрат, при этом не забываем возвести в квадрат правую часть:

Теперь решаем полученное уравнение, в данном случае оно линейное:

Выполним проверку – подставим найденный корень в исходное уравнение:

Пример 2: решить уравнение:

Действуем согласно алгоритму: возводим заданное уравнение в квадрат, при этом не забываем возвести в квадрат правую часть:

Теперь решаем полученное уравнение, применим свойство пропорции:

Выполним проверку: подставим найденный корень в исходное уравнение:

Пример 3: решить уравнение. В ответ записать меньший из корней, если их получится несколько:

Согласно алгоритму, избавляемся от корня:

Решаем полученное уравнение, в данном случае квадратное:

Согласно теореме Виета, здесь сумма корней равна пяти, произведение – минус шести. Несложно догадаться, что это корни .

Отметим, что квадратное уравнение также можно решить, вычисляя дискриминант, тогда .

Выполним проверку: – первый корень нас полностью устраивает;

– выражение не имеет смысла, так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, второй корень следует отбросить. Имеем ответ: .

Показательная функция, определение, свойства, этапы решения показательных уравнений

Напомним определение: показательной называется функция, которая возводит некоторое конкретное число в степень, зависящую от переменной: , где основание степени, показатель.

При решении показательных уравнений следует придерживаться алгоритма:

1. Привести степени к одинаковому основанию (к уравнению вида );

2. Перейти к показателям: вследствие монотонности показательной функции имеет место факт .

Напомним основные свойства показательной функции:

1. ;

Решение показательных уравнений

Пример 4: решить уравнение:

Согласно алгоритму, необходимо привести степени к одному основанию:

Теперь имеем право приравнять показатели степени:

Решаем полученное линейное уравнение и получаем ответ:

Отметим, что в данном случае в проверке ответа нет необходимости, ошибок, связанных с ОДЗ, возникнуть не может.

Пример 5: решить уравнение:

Согласно алгоритму, необходимо привести степени к одному основанию. Мы видим, что основания очень похожи. В данном случае есть два пути решения: двойку привести к основанию одна вторая или наоборот. Рассмотрим сначала первый вариант:

Теперь имеем право приравнять показатели степени:

Обратим внимание, что ответ в части В в ЕГЭ записывается либо в виде целого числа, либо в виде десятичной дроби.

Рассмотрим второй вариант:

Итак, мы ознакомились с задачами ЕГЭ типа В3: задачами на корни и показательную функцию. Мы рассмотрели основные опорные факты и решили примеры.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Vipirit.ru

2. ЕГЭ

Проверьте себя

1. Решить уравнение:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) ;

2. Решить уравнение, в ответ записать сумму корней:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) ;

3. Решить уравнение:

   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) .