01. Равносильность уравнений
02. Равносильность уравнений (продолжение)
03. Равносильность уравнений, примеры
04. Общие методы решения уравнений
05. Метод разложения на множители
06. Метод введения новой переменной
07. Функционально-графический метод
08. Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств
09. Метод интервалов
18 мин
10. Системы и совокупности неравенств
11. Иррациональные неравенства
12. Неравенства с модулями
13. Уравнения и неравенства с двумя переменными
14. Системы уравнений. Основные сведения и примеры
15. Системы уравнений. Метод подстановки
16. Системы уравнений. Метод алгебраического сложения
17. Системы уравнений. Метод введения новых переменных
18. Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры
19. Линейная функция в задачах с параметром
20. Квадратичная функция в задачах с параметром
21. Графический метод в задачах с параметром
22. Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач
04. Общие методы решения уравнений
Видео доступно по абонементу
На данном уроке мы изучим общие методы решения уравнений. Изучим уравнения со сложными функциями нового вида h(f(x))=h(g(x)) с разными аргументами. Рассмотрим общие методы решения таких уравнений, приведем примеры.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства».
Рассмотрим уравнения
(1)
(2)
– сложная функция. Её аргументом являются функции. В первом случае равны функции, во втором – аргументы. Если – решение уравнения (2), то будет ли это корнем уравнения (1)? Да, будет, если существует.
Рассмотрим конкретный пример.
Пример 1.
и
Решим уравнение (2):
Проверим, будет ли решение уравнения (1) таким же:
Рассмотрим уравнение (2)
– монотонная функция, поэтому уравнения (1) и (2) равносильны.
И поэтому, решая уравнение (1), мы решаем уравнение (2).
Ответ: .
Переобозначим: тогда уравнение (1) примет вид: (3)
Имеем равенство функций.
Уравнение (2) примет вид: (4)
Имеем равенство аргументов.
Вспомним определение функции.
Определение.
(единственность)
То есть, каждому допустимому аргументу ставится в соответствие единственное значение.
Следовательно, из равенства аргументов следует равенство функций:
Пример 2.
а)
При любом допустимом основании
б)
Из равенства монотонных функций следует равенство аргументов:
Функция монотонна, а значит, каждое значение функция принимает при единственном значении:
Можно сделать вывод:
Если функция монотонно убывает или возрастает, то равенство функций и равенство аргументов равносильны:
Вернёмся к начальным обозначениям и сформулируем утверждение.
(1)
(2)
Каждый корень уравнения (2) такой, что , является корнем уравнения (1).
Возникает вопрос, всегда ли, решив уравнение (2), мы получим все решения уравнений (1).
Если монотонна, то (1) (2). То есть, множество корней совпадает.
Если не монотонна, то (1) (2). То есть, решив уравнение (2), получим часть решений уравнения (1).
– монотонна
Значит, из равенства функций следует равенство аргументов:
Эти уравнения равносильны.
Ответ: .
Это уравнение вида (1), где
– монотонна
Значит, уравнения равносильны:
Из равенства функций следует равенство аргументов, и наоборот. Мы получили полное множество решений, так как функция монотонна.
Ответ:
Рассмотрим примеры с не монотонными функциями.
– не монотонна.
– одно из решений, так как решением такого уравнения является .
Ответ: .
не монотонна
– один из корней
Ответ:
Итак, мы рассмотрели решения уравнений вида . На следующем уроке мы рассмотрим решения уравнений методом разложения на множители.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Полезные ссылки
Проверь себя
1. Решить уравнения:
а) ;
б) .
2. Укажите, в каких уравнениях равенство функций и равенство аргументов равносильны, объясните.
a) ;
б) .
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1679, 1680, 1681, 1682..
"