06. Основы теории вероятностей. Базовый уровень

Случайное событие, исход, классическое определение вероятности

Вероятность — одна из немногих тем, про которую обычно не спрашивают: «Зачем мне это надо?». Каждый раз, когда вы раздумываете, взять с собой зонт или нет, вы решаете задачу на вероятность. При этом ответ может зависеть не только от погоды на улице, но и от массы или размера зонта. Подойдя к остановке автобуса и прикидывая, идти пешком или подождать автобуса, вы тоже решаете вероятностную задачу.

Конечно, применение вероятности не ограничивается таким бытовым использованием.Огромное количество современных научных дисциплин используют аппарат, основанный на теории вероятностей. Например, классическая молекулярная физика или квантовая механика совершенно невозможны без вероятностей. Социология, экономика, биология, медицина и огромное количество других дисциплин используют статистические и вероятностные методы.

Так, эпидемиологи оценивают риски распространения болезни — по вероятности передачи от одного человека другому, по вероятности неблагоприятного исхода болезни и так далее. При этом даже низкая вероятность умереть от болезни для одного человека не означает, что ситуация контролируема. Ведь одновременное заболевание большого количества людей может вызвать нехватку медицинского оборудования и резкий рост смертности от заболевания (по сути, врачи вынуждены будут выбирать, кого лечить). Чтобы построить математическую модель ситуации и определить необходимые защитные меры, без теории вероятностей не обойтись.

В связи с этим можно сформулировать замыкающийся на предмете этого урока тезис: «Очень высока вероятность того, что вам в жизни понадобятся знания по теории вероятностей».

Основным понятием теории вероятностей является случайное событие, то есть такое событие, которое может произойти или не произойти. Если мы бросаем игральный кубик (ещё его называют игральной костью), то примером случайного события является следующее: «выпало чётное количество очков». Это событие может наступить или не наступить.

В частных случаях про событие мы можем точно знать, что оно наступит. Такие события называют достоверными (буквально — достаточное для того, чтобы считать его верным; достопримечательность — достаточно примечательный объект, чтобы его выделить из других; достопочтимый и так далее).

Бросая кубик, мы точно знаем, что наступит следующее событие: «выпало от 1 до 6 очков».

Также есть события, которые точно не наступят: «выпало нечётное число больше пяти». Такие события называют невозможными. Если провести аналогию с компьютерами: 0 — сигнал точно не идёт (невозможное событие), 1 — сигнал точно идёт (достоверное событие).

Каждому случайному событию ставится в соответствие число от нуля до единицы включительно, которое и называется вероятностью события:

.

Такое число присваивается не произвольно, а так, чтобы инструмент под названием вероятность соответствовал практике и был полезен. Зная вероятность события, вы можете принимать решения. Брать или не брать с собой зонт — это решение, а прогноз погоды — это то знание, которое помогает это решение принять.

Поговорим о способах, как можно задать вероятность события. Для этого сыграем в игру. Бросаем кубик: если чёт — вы получаете рубль, если нечёт — вы отдаёте два. Сразу понятно, что игра нечестная, так как вероятность чёта и нечёта одинаковая, а ставки разные. А откуда мы знаем, что вероятность выпасть чётному числу очков — ?

Существуют три рассуждения:

1) Статистический, или частотный, способ. Если подбросить кубик два раза, то выпасть может всё что угодно — чёт и нечёт, два раза чёт, два раза нечёт.

С вероятностями ничего не ясно. Но если бросить 100 раз, то количество чётных и нечётных очков будет примерно равным, например 48 на 52. Это и наводит на мысль, что эти события равновероятны. А почему вероятность именно по , а не по ? У достоверного события вероятность максимальна и равна единице. То есть вероятность того, что выпадет хоть что-нибудь, — единица. Но кубик мы считаем идеально симметричным, поэтому логично предполагать, что любая грань будет выпадать с одинаковой вероятностью. Значит, вероятность выпадения чётных и нечётных граней одинакова, поэтому единицу нужно разделить пополам.

2) Всего шесть граней. Если мы хотим чёт, то подходят три из них, 2, 4 и 6. Значит, .

3) ,,. Тогда сумма этих вероятностей и даёт вероятность чёта, то есть .

Второй и третий подходы очень похожи. Они относятся к теории вероятностей, а первый пример ближе к статистике, очень тесно связанной дисциплине.

Второй подход иллюстрирует классическое определение вероятности. Чтобы его сформулировать, нужно использовать понятие элементарных исходов.

Элементарные исходы, или просто исходы — это простые события, из которых можно комбинировать более сложные.

Для опыта с броском кубика исходами являются выпадения любой конкретной грани. То есть при броске кубика существует 6 исходов — 1, 2, 3, 4, 5, 6. Из них можно скомбинировать более сложное событие. Например, «выпало чётное значение».

Исходы, которые приводят к наступлению такого события, — 2, 4, 6, — называют благоприятными. Для события «выпало более четырёх очков» благоприятными являются 5 и 6.

Исходы обладают тремя важными свойствами:

1) Все исходы равновероятны.

2) Исходы покрывают все возможности. Не бывает так, чтобы ни один исход не произошёл.

3) Исходы несовместны. Не бывает так, чтобы одновременно произошло 2 или более исходов.

Теперь мы можем сформулировать классическое определение вероятности. Пусть в опыте возможно исходов, а исходов благоприятны для события . Тогда вероятностью наступления события называется отношение числа благоприятных исходов к общему количеству исходов.

, где — вероятность, — количество исходов благоприятных для события , — общее количество исходов.

Для достоверного события все исходы являются благоприятными, то есть , следовательно, вероятность такого события равна единице.

, где — достоверное событие.

Для невозможного события нет благоприятных исходов, то есть . Следовательно, вероятность такого события равна нулю.

, где — невозможное событие.

Как правильно работать с теорией вероятностей

При усложнении испытания усложняются исходы. Если кубик бросить два раза, что теперь является элементарными исходами и сколько их? Нельзя считать, что исходы такие же, как раньше, но теперь их 12. Исход объясняет, чем закончился весь опыт, а не его часть. Поэтому один исход — это запись, сколько очков выпало при первом броске и сколько при втором, то есть пара чисел, каждое от 1 до 6.

Например, исход (2, 5) означает, что в первый раз выпало 2 очка, а во второй 5.

Исходы (2, 5) и (5, 2) отличаются, то есть считаются разными.

Несложно подсчитать, что всего исходов в таком испытании 36.

.

Какова вероятность, что в сумме выпало не менее 11 очков? Благоприятных исходов всего три: (5, 6), (6, 5) и (6, 6), то есть , а вероятность равна .

 .

Определение поля событий (то есть всех возможных исходов и вероятностей каждого из них) — важная часть решения задачи на подсчёт вероятностей. Предположим, что у вас спрашивают: какова вероятность того, что завтра, выйдя на улицу, вы встретите динозавра? Можно рассуждать так: есть всего два события — встречу или не встречу. Значит, и вероятность равна .

На первый взгляд, в этом рассуждении всё верно — мы в точности повторили наш ход мыслей в примере с чётными и нечётными гранями кубика. Но есть один нюанс — мы автоматически предположили, что озвученные события являются исходами, то есть равновероятными. И если для кубика наши рассуждения вполне логичны и подтверждаются жизненным опытом, то в вопросе про динозавра — нет.

Представьте, что вам предлагают сыграть в игру — если на кубике выпадает 1, то вы получаете 100 рублей; если не выпадает, то отдаёте. Вряд ли вы согласитесь в такую игру играть, хотя можно провести те же рассуждения: есть два варианта — выпадет 1 и не выпадет 1. Вероятности одинаковы. Но, конечно, в такую игру нет смысла играть, даже если вам за выпадение 1 предложат 200, 300, 400 рублей. Честной она станет только при 500 рублях. Почему так? Потому что событие «не выпадет 1» состоит из 5 исходов (равновероятных с выпадением 1) — выпадет 2, 3, 4, 5, 6. Поэтому, при честном бросании, событие «выпала 1» будет наступать в 5 раз реже, чем событие «не выпала 1».

Обратим внимание ещё на некоторые моменты. Первый момент — теория вероятностей не даёт гарантий. Вы можете 5 раз подряд поставить на выпадение орла, и каждый раз будет выпадать решка. Прогноз погоды может обещать вероятность дождя 10 %, а дождь пойдёт. Мама может никогда не бывать в районе, в котором вы решили прогулять дополнительные занятия, но именно в этот день оказаться там по делам и так далее.

Вероятность говорит лишь о некоторой закономерности, которая будет наблюдаться при многократном повторении испытаний. Так, из 100 или 1000 подбрасываний почти наверняка около половины раз будет выпадать орёл. Или, если 100 или 1000 человек подбросят монету, то приблизительно у половины из них выпадет орёл. Мама ещё год не будет заезжать в этот район и так далее.

Иногда начинают рассуждать о везении и невезении. Это вопрос философский, но всё же можно заметить следующее. Природа равнодушна. Везения и невезения в среднем встречаются в ней относительно одинаково часто. Просто мы склонны обращать внимание на одну сторону монеты. Так, человек, подвернувший ногу, может проклинать судьбу, даже не зная, что это спасло его от упавшего на голову с крыши кирпича на соседней улице.

Второй важный момент при расчёте вероятностей — это честность игры. Если ваш соперник использует специальную монету со смещённым центром тяжести, то выпадение 5 решек подряд может быть неслучайным. Или, к примеру, если он умеет подбрасывать монету определённым образом так, чтобы она почти всегда выпадала нужной ему стороной. В таких ситуациях теория вероятностей уже бессильна. Разве что сильное отклонение в одну из сторон от прогнозируемого результата может свидетельствовать о том, что события неслучайные. Интересующимся рекомендуем прочитать рассказ Джека Лондона про Смока Беллью. В одной из глав рассказывается про придуманную Смоком систему выигрыша при игре в рулетку, которая как раз основана на неслучайности событий.

Как определить случайность — это очень сложный вопрос. Ведь, в принципе, зная все параметры монеты и начальную скорость броска, в теории можно рассчитать её полёт и предсказать итог. Получается, что речь идёт не о вероятности, а о конкретном результате. На самом деле, на полёт монеты влияет столько факторов, что результат её падения, хоть теоретически и предсказуем, но невычислим. Поэтому результат броска монеты можно считать случайным событием.

Использование комбинаторики для подсчёта числа исходов

При вычислении вероятности необходимо:

1. Понять, как устроены исходы. Это достигается тренировкой при решении задач.

2. Посчитать общее число исходов.

3. Определить, какие исходы являются благоприятными, и тоже их подсчитать.

В простых случаях, как с одним или двумя бросками кубика, всё считается полным перебором. Но если число исходов велико, то полный перебор не подходит. В таких ситуациях пригодятся формулы комбинаторики.

Простейшая формула комбинаторики — число перестановок без повторений.

Записывается как

С её помощью считают количество способов, которыми можно переставить различных объектов. Типовой пример — сколько существует вариантов построить очередь из человек. Рассмотрим задачу.

Задание 1. Шесть школьников выстраиваются в очередь. Какова вероятность, что Миша и Маша окажутся рядом?

Решение.

Элементарным исходом является любая конкретная полученная очередь.

Всего таких исходов

.

Теперь посчитаем количество благоприятных исходов. Маша и Миша должны стоять друг за другом, то есть на 1 и 2 месте, 2 и 3 и так далее, последний вариант — 5 и 6 места. Всего 5 вариантов.

Кроме того, они могут меняться местами. Таким образом, существует 10 вариантов, как встать Мише и Маше.

Но при каждом таком выборе остальных четырёх школьников можно переставить 4! способами, то есть 24 способами. Таким образом, количество благоприятных исходов тоже достаточно велико:

.

Осталось найти вероятность:

.

Ответ: .

Наверное, самая используемая формула комбинаторики в теории вероятностей — это число сочетаний. Вспомним её.

Чтобы посчитать, сколько существует способов назначить трёх дежурных из 10 школьников, можно задачу превратить в перестановочную.

Будем ставить школьников в очередь, первые три становятся дежурными. Всего 10! вариантов:

Но первых трех можно переставлять местами, это ничего не изменит — они же и останутся дежурными. То есть количество вариантов уменьшается в 3! раз (ведь те варианты, которые раньше считались разными, мы теперь считаем как один и тот же). Аналогично, оставшихся семерых школьников тоже можно переставлять местами, они не станут дежурными от этого. Количество вариантов ещё уменьшилось в 7! раз. Таким образом, общее число вариантов — это число сочетаний из 10 по 3 и вычисляется как

.

В общем виде формула имеет вид .

Читается как: «Число сочетаний из по равно делить на и ».

С помощью неё мы можем вычислить число способов, которыми можно выбрать элементов (порядок которых нам не важен) из различных элементов.

Задание 2. В группе 4 девочки и 6 мальчиков. Случайным образом выбираются четверо дежурных. Какова вероятность, что это будут две девочки и два мальчика?

Решение.

Элементарным исходом является любой набор из четырёх дежурных, при этом не важен порядок этих четырёх.

Общее количество исходов — это число сочетаний из 10 по 4:

.

Найдём число благоприятных исходов. Обозначим число вариантов выбрать двух девочек как , а двух мальчиков . — это число сочетаний из 4 по 2 (всего девочек четыре и выбираем мы двух из них), а — число сочетаний из 6 по 2 (всего мальчиков шестеро и выбираем двух):

.

.

На каждый выбор девочек из существует вариантов выбора мальчиков. Следовательно, число благоприятных исходов получаем как .

Находим вероятность: .

Ответ: .

Мы уже умеем использовать комбинаторные формулы — количество перестановок, размещений и сочетаний — для решения задач на определение количества вариантов. Большинство задач теории вероятностей сводится к тому, что нужно с использованием комбинаторных формул найти общее количество исходов, затем — количество благоприятных исходов и их отношение. То есть вычисление вероятности часто сводится к решению двух комбинаторных задач.

Умножение и сложение вероятностей

Если два события никаким образом не влияют друг на друга, то их называют независимыми. Например, то, что завтра пойдёт дождь, и то, что вы сегодня зайдёте в свой профиль в социальной сети — независимые события, их вероятности не зависят друг от друга. Другой пример — подбросим два кубика. Количество очков на одном не связано с количеством очков на другом. Если на одном выпала единица, а на другом шестёрка, то это независимые события.

Принцип, или теорема умножения вероятностей, состоит в следующем.

Пусть и — независимые события. Причём событие наступает с вероятностью , а событие — с вероятностью , тогда вероятность их совместного наступления равна произведению этих вероятностей.

.

Значок между и — — называется амперсандом и означает «и»; « и », то есть совместное наступление двух событий. По-другому записывают так:

;

.

Задание 3. Бросим два кубика. Какова вероятность, что на первом выпадет 6, а на втором — чёт?

Решение.

;

.

Очевидно, что события независимы, следовательно, вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей.

.

Ответ: .

Если два события не могут произойти одновременно, совместно, то их называют несовместными. Любые два элементарных исхода в одном испытании являются несовместными. Не могут при броске кубика выпасть и 1, и 6 одновременно. Но понятно, что элементарными исходами дело не ограничивается. Может ли одновременно на кубике выпасть единица и чёт (чёт — это уже не элементарный исход)? Нет, это тоже несовместные события.

Задание 4. Какова вероятность, что при броске выпадет 1 или чёт?

Решение.

1 способ.

Эту вероятность нетрудно посчитать по классическому определению. Благоприятными исходами являются 1 и все чётные, то есть .

Значит, вероятность равна .

Ответ: .

2 способ.

Тот же самый результат мы бы получили, если бы сложили вероятности двух этих событий, — единица и чёт.

;

;

.

Ответ: .

Общее правило, или теорема сложения вероятностей, звучит следующим образом.

Вероятность того, что произойдёт одно из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий.

.

Значок между и — — означает «или», « или ».

Рассмотрим пример. Пусть в лотерее каждый сотый билет выигрышный. То есть вероятность выигрыша одного билета равна 0,01. Вы купили два билета. Какова вероятность выигрыша теперь?

Очень хочется воспользоваться теоремой сложения и сказать, что вероятность выигрыша равна сумме, то есть 0,02. Интуитивно это тоже очень похоже на правду: купил два билета — увеличил шансы вдвое. Но здесь закралась ошибка, которую сложно заметить из-за небольших вероятностей. Выигрыши первого и второго билетов могут наступить совместно, следовательно, события не являются несовместными и применять к ним теорему сложения в таком виде нельзя.

Чтобы в этом убедиться, нужно увеличить вероятности, например купить 100 билетов в условиях этой задачи.

Тогда по такой логике вероятность выигрыша равна 1 (100 %), но мы же понимаем, что все 100 могут проиграть, а если куплен 101 билет, то вероятность уже выше единицы, что невозможно.

Для лучшего понимания сделаем по условию каждый второй билет выигрышным, тогда вероятность выигрыша одного билета 0,5, но двух билетов точно не единица, так как оба запросто могут проиграть.

Конечно, все наши рассуждения верны в том случае, если в лотерее выпущено больше 100 билетов.

Таким образом, применяя правило сложения вероятностей, нужно быть внимательным и проверять, являются ли события несовместными. Если же события совместны, то есть могут наступить одновременно, то простое правило сложения уже не будет работать.

Как же решить задачу про лотерею?

Решение.

Возможны всего 4 ситуации:

1. Оба билета выигрышные.

2. Первый билет выигрышный, второй — нет.

3. Первый билет невыигрышный, а второй — выигрышный.

4. Оба билета невыигрышные.

Суммарная вероятность этих четырёх вариантов равна единице, других вариантов быть не может:

.

Нас устроит любой их первых трёх вариантов — хотя бы один билет выигрышный. Вероятность наступления одного из этих трёх вариантов проще посчитать как .

Вероятность последнего варианта — оба билета невыигрышные — можно посчитать по теореме об умножении, так как невыигрыш билета не зависит от невыигрыша другого билета. То есть вероятность того, что оба билета невыигрышные, можно посчитать как .

Тогда вероятность выигрыша хотя бы одного из билетов составит .

Ответ: 0,0199.

Для двух билетов разница с неправильной первой оценкой — 0,02 — невелика:

.

Но для ста билетов вероятность выигрыша одного из билетов составит 0,63 вместо очевидно неправильной единицы:

.

Диаграммы Эйлера в теории вероятностей

Для расчёта вероятностей при наличии совместных событий нам пригодятся диаграммы Эйлера.

Используя эти диаграммы, сначала изображают прямоугольником универсальное множество — множество всех элементарных исходов.

Универсальное множество соответствует достоверному событию: «произойдёт хоть что-нибудь». Например, при броске кубика это будет событие «выпадет от 1 до 6». Все остальные события изображаются внутри универсального множества в виде кругов или овалов.

Площади множеств не измеряются, но ассоциируются с вероятностью события. То есть мы понимаем, что площадь универсального множества равна 1, площади множеств и меньше единицы, и даже сумма этих площадей меньше единицы, так как они не покрывают всё универсальное множество, всё множество исходов.

;

;

;

.

Несовместные события изображаются непересекающимися множествами. То есть и — несовместные события.

Нет ни одного благоприятного исхода, который бы входил сразу в оба множества. Событие — это объединение двух множеств, а его вероятность — это сумма двух множеств.

.

Событие — это пересечение двух множеств. В случае несовместных событий такое пересечение пусто, что соответствует тому, что несовместные события не могут произойти совместно.

, где и — несовместные события.

Рассмотрим совместные события, для этого их диаграммы должны иметь общие точки, то есть пересекаться.

Пересечение множеств и соответствует одновременному наступлению двух событий. Площадь пересечения — это вероятность совместного наступления событий и , или вероятность события .

Вероятность совместного события не превосходит вероятности каждого события по отдельности, а обычно всё-таки меньше. Вероятности того, что завтра пойдёт дождь и завтра четверг, по отдельности выше, чем вероятность того, что завтра и дождь, и четверг.

;

.

Рассмотрим теперь событие «А или В» в случае, когда они совместны.

Вероятность этого события — это площадь объединения двух множеств. Если просто сложить две площади и , то пересечение мы учтём два раза — один раз в и второй раз в . Ничего страшного, вычтем одно лишнее пересечение из этой суммы и как раз получим площадь нужной фигуры. То есть вероятность события « или » равна сумме их вероятностей по отдельности минус вероятность их совместного наступления.

.

Эту формулу, конечно, можно использовать и для случая несовместных событий. Тогда последнее слагаемое обращается в ноль, и мы получаем уже знакомую формулу суммы для несовместных событий.

.

Теперь мы можем уже решить задачу с лотерейными билетами.

Задание 5. Пусть каждый билет имеет вероятность выигрыша 0,01. Какова вероятность выиграть хотя бы по одному билету, если вы купили два билета?

Решение.

Это как раз случай совместных событий, так как оба билета могут выиграть. Тогда используем полную формулу для вероятности такого события.

.

Вероятность того, что выиграет хотя бы один билет, равна сумме вероятностей выигрыша каждого по отдельности минус вероятность их совместного наступления, которая равна произведению, так как события хоть и совместны, но независимы.

Ответ: 0,02.

Список литературы

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачёва М. В. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни). 10–11 классы. – М.: Просвещение. § 65–69.

2. Тюрин Ю. Н. Теория вероятностей и статистика. П. 20–43.

Домашнее задание

1. Маша случайным образом положила на столе в ряд 5 тетрадей по разным предметам: алгебре, биологии, истории, литературе, физике. Какова вероятность того, что тетради по алгебре, биологии, физике окажутся рядом?

2. В магазине продаётся восемь шариков, из которых три красных и пять жёлтых. Паша покупает четыре шарика. Какова вероятность, что это будут два жёлтых и два красных шарика?

3. Во вторник метеорологи обещали дождь с вероятностью 80 % и сильный ветер с вероятностью 65 %. Какова вероятность того, что во вторник будет дождь или сильный ветер?