04. Первообразная. Определённый интеграл. Профильный уровень

Первообразная и интеграл

Операция ― это определённое действие (одно или несколько), которое направлено на некоторый объект или объекты. Так, в хирургических операциях объект ― это пациент, а действия могут быть разные, в зависимости от типа операции. В математических операциях «пациентами» обычно являются числа или алгебраические выражения. Мы уже изучили множество типов операций: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, вычисление тригонометрических функций числа, вычисление логарифма с заданным основанием и т. п.

Недавно вы познакомились с новым типом операции: нахождение производной. В отличие от перечисленных ранее операций, здесь объектом является не число или выражение, а функция. Результатом выполнения операции тоже будет функция. Эту операцию мы изучаем так же, как и все другие. Знаем правила её применения, знаем границы применения. Следующий шаг ― найти обратную операцию.

Мы уже не раз говорили, что в жизни часто приходится решать обратные задачи. И обычно это сделать сложнее, чем решить прямую задачу. Легко выйти из дома и идти куда-то по случайному маршруту. Зато вернуться в незнакомом городе будет гораздо сложнее.

При нахождении обратных функций мы уже сталкивались с неопределённостью. Так, по известному значению синуса можно восстановить угол только с точностью до периода. Повторить эту тему вы сможете, посмотрев урок Обратные функции.

Операция взятия производной не является исключением. Пример прямой задачи мы знаем: по заданному уравнению движения найти зависимость скорости тела от времени. В её решении пригодится физический смысл производной. Но на практике чаще возникает именно обратная задача: найти положение тела с течением времени, если задана зависимость скорости. Понятно, что положение тела можно будет вычислить только относительно какой-то исходной точки (точки отсчёта), то есть без дополнительных начальных условий будет получаться многозначность.

Пусть тело не двигалось, то есть его скорость равна нулю, тогда понятно, что положение тела будет постоянным. Если мы знаем его начальную координату, то можем задать положение тела в любое время . Если же начальная координата неизвестна, можем утверждать только, что  ( ― некоторая константа). Если мы возьмём график функции и поднимем его на несколько единиц вверх или опустим вниз, то производная такой функции не изменится, в каждой точке не изменятся углы наклона касательных (см. рис. 1). Если записать аналитически, получаем:

Получается, у всех таких функций производные будут одинаковыми. Восстанавливая по производной исходную функцию, мы можем понять её вид, но не расположение, то есть сможем находить функцию с точностью до константы. Подробнее о том, как решить обратную задачу (по производной восстановить общий вид самой функции), мы и поговорим далее в нашем уроке.

Начнём с терминологии и обозначений.

Прямая операция состоит в том, что по функции мы находим её производную, которую обозначают как . Соответственно, обратная операция будет заключаться в том, что по производной функции  мы должны восстановить исходную функцию . В других обозначениях это записывается так: зная функцию , мы должны найти такую функцию , производная от которой равна .

Эта функция  называется первообразной функции . Саму операцию обычно так и называют: нахождение первообразной функции.

Итак, нахождение первообразной функции ― это операция, обратная к нахождению производной функции. Обратные операции обычно сложнее, чем прямые. Мы это уже видели на разных примерах. Давайте вспомним, в чём же состояла сложность:

1. Для прямых операций обычно есть чёткий алгоритм: сложение и умножение в столбик, возведение в степень. Для обратных операций этот алгоритм или существует, но намного сложнее, как в случае вычитания, или не такой строгий. Так, при делении в столбик и вычислении квадратных корней нам приходится подбирать числа.

2. Прямые операции обычно не имеют ограничений. А вот в обратных они возникают. Так, в рамках натуральных чисел нельзя из меньшего числа вычесть большее. И только понятие отрицательных чисел позволяет решить эту проблему. Деление на ноль не определено. А в рамках действительных чисел нельзя вычислить корень из отрицательного числа.

Эти сложности касаются и нахождения первообразных. Для нахождения производных мы знаем различные правила и табличные значения, есть чёткий алгоритм. Для нахождения первообразных также можно вывести таблицы и некоторые правила. Этим мы займёмся дальше в уроке. Но простой и чёткий алгоритм будет только для некоторых видов функций, для остальных он существенно сложнее. При этом не всегда вообще удастся найти первообразную функции.

Пример

Так, нельзя найти первообразную функции . Точнее сказать, не «нельзя», а нет способа записать эту первообразную в аналитическом виде, то есть с помощью стандартных математических операций. Таким образом, не получится найти и записать в аналитическом виде такую функцию, производная от которой равна .

Вспомним ещё один нюанс про обратные операции, о котором говорили в начале урока. Результат прямой операции зачастую однозначен, что не всегда справедливо для обратных. Так было, к примеру, с тригонометрическими функциями. Найти синус от числа мы можем однозначно, а вот однозначно восстановить число по значению его синуса нельзя. Определённому значению синуса соответствует множество чисел, отличающихся на период.

Это же касается и производных с первообразными. Каждая функция имеет лишь одну производную. А вот первообразная у функции не одна. Все первообразные заданной функции  ― это множество функций, отличающихся на постоянную величину. Это означает, что если одна из первообразных функции равна , то все остальные можно записать в виде , где ― это произвольная постоянная величина, константа.

Множество всех первообразных заданной функции называют интегралом от функции и обозначают следующим образом . Читается это так: интеграл от по . Соответственно, обратную операцию ещё называют «взятием интеграла от функции» или просто «интегрированием». Такое обозначение связано с основным применением понятия первообразной, о котором пойдёт речь далее в уроке.

Первообразные элементарных функций. Правила интегрирования

Теперь перейдём к техническим аспектам нашей темы и посмотрим, как же находить первообразные функций. Для этого вспомним таблицу производных (см. рис. 2). В левом столбце указаны функции, а в правом ― их производные. По определению первообразной, это такая функция, производная от которой равна заданной, то есть если в правом столбце указаны заданные функции, то в левом столбце стоят их первообразные.

Например, первообразной функции  будет функция . Для функции первообразной будет функция . Таким образом, таблицу производных можно использовать и для нахождения первообразных.

Но именно для этой задачи таблицу лучше немного изменить. Сейчас в таблице не все функции являются базовыми: в некоторых из них есть численные коэффициенты. К тому же указана лишь одна первообразная для каждой функции. А мы знаем, что для каждой функции можно найти множество первообразных.

Чтобы подправить таблицу, будем пользоваться следующими свойствами:

1. Если функцию уменьшить или увеличить в некоторое количество раз, то её производная изменится во столько же раз, то есть:

   .

   
   Это следует из правил дифференцирования:

   .

   
   Таким образом, мы можем умножать и делить функции из левого и правого столбцов на одно и то же ненулевое число.

2. Если одна из первообразных равна , то все остальные можно записать как :

   .

   
   То есть к полученным первообразным нам останется дописать «».

Итак, приступим (см. рис. 3).

1. Первообразная от нуля равна константе, тут всё остаётся.

, где

1. Первообразная от 1 равна , всё множество первообразных запишем как .

, где

1. Умножим оба столбца на произвольное число . Получим, что одна из первообразных от некоторого числа равна . В общем виде:  (см. рис. 4).

, где

1. Далее делим обе функции на 2. Получаем, что первообразная от равна . В общем виде «» (см. рис. 5).

, где

Теперь посмотрим на произвольную степенную функцию. Разделим обе функции на (см. рис. 6). Для удобства обозначения заменим  на . Получим, что первообразная от  равна , не забываем «». Подставляя разные , можно получить различные частные случаи первообразной.

Обратите внимание, что при  в первообразной возникнет деление на ноль. Значит ли это, что первообразной не будет? Неверно. Обратите внимание на строку ниже. Первообразная от  равна . А . Таким образом, корректнее уточнить.

1. Первообразная от  равна  при . Если же , то первообразная равна .

, где

, где

Идём дальше по таблице (см. рис. 7).

1. Первообразная  равна .

, где

1. В следующей строке умножаем обе части на –1 и получаем, что первообразная от  ― это .

, где

1. Соответственно, первообразная от  равна .

, где

1. А первообразная от  равна .

, где

1. Первообразная также есть .

, где

1. В следующей строке делим на  и получаем, что первообразная от  равна . При  возникнет деление на ноль, так что дописываем в таблицу это условие (см. рис. 8). Как и было со степенной, при  мы получим другую функцию: . Первообразная от неё равна .

, где

Итак, мы получили таблицу первообразных (см. рис. 8). Ещё её называют таблицей интегралов, ведь в левой колонке у нас стоят первообразные в общем виде. А всё множество таких первообразных и называется интегралом функции. Желательно запомнить эту таблицу, но при необходимости её, во-первых, всегда можно получить из таблицы производных так, как мы это только что проделали. Во-вторых, всегда её можно найти в справочниках или в интернете. При этом в данной таблице указана лишь часть функций. Если взять расширенную версию таблицы производных, то можно получить более полную версию таблицы первообразных.

Далее можем перейти к правилам нахождения первообразных (или правил интегрирования). Приведём их без доказательства, но вы должны знать, что доказать их можно на основе правил дифференцирования.

Для суммы функций и умножения функции на число правила будут идентичны правилам дифференцирования.

Свойства первообразной:

1. Первообразная суммы равна сумме производных. Аналогично для разности.

1. Первообразная от функции, умноженной на число, равна числу, умноженному на первообразную.

Вспомним ещё одно правило. Для функции, аргументом которой является , а не просто , полученную производную нужно было ещё умножить на .

В случае с первообразной ситуация будет обратной. Полученную первообразную нужно будет делить на .

1. Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции.

Существуют и другие правила нахождения первообразных, но они выходят за рамки школьной программы. Именно поэтому мы ограничимся лишь теми, что указаны выше.

Разберём на примерах нахождение первообразных с использованием таблицы и правил интегрирования.

Задание 1.

Найдите первообразные функций: .

1) .

В таблице есть первообразная для , в данном случае .

Получаем:

, где

Обратите внимание, что мы сделали:

1. Увеличили степень на 1.

2. Разделили на полученную степень.

Не забываем дописать константу.

2) .

В таблице есть первообразная для , представим функцию в таком виде. От корня перейдём к степени:

Для нахождения первообразной повышаем степень на 1:

Затем делим на эту степень:

Можем упростить, заменив деление умножением на обратную дробь:

, где

Первообразная от суммы или разности ― это сумма или разность первообразных. Так что берём первообразные от каждого слагаемого, затем складываем и вычитаем.

Получаем:

, где

Ответ: ,,, где .

Задание 2.

Найдите .

Задача та же, что и при нахождении первообразных. Используем таблицу и правила интегрирования.

Интеграл от ― это .

, где

Но тут у нас не просто , а . То есть это аргумент вида , где .

Применяя правила, получаем:

, где .

Ответ: , где .

Помимо нахождения отдельных первообразных, на практике может встретиться задача и конкретной первообразной, проходящей через заданную точку. Это позволит вычислить конкретное значение константы .

Задание 3.

Найдите первообразную функции , проходящую через точку .

Для начала ищем первообразную в общем виде. Попробуйте найти первообразную самостоятельно. Должны получить:

, где .

Мы знаем, что полученная первообразная проходит через точку , то есть: .

Подставляем значения: .

Находим: .

Получаем конкретный вид первообразной: .

Ответ: .

В некоторых задачах точка, через которую проходит первообразная, задана не в явном виде, а скрыта внутри условия.

Задание 4.

Скорость автомобиля задана формулой , где ― время движения. Найдите зависимость пути, пройденного автомобилем, от времени.

Скорость ― это производная от пути по времени. Значит, путь ― это первообразная от скорости:

Ищем первообразную. В функции стоит произведение, преобразуем его в сумму, чтобы применить правила интегрирования:

Вычисляем первообразную:

, где .

Упрощая, получаем:

, где

Итак, мы получили зависимость. Но в ней есть неопределённая константа С. Однако мы же понимаем, что если машина едет с заданной скоростью, то она пройдёт конкретный путь, неопределённости быть не может. Чтобы это исправить, нужно учесть, что в начальный момент времени  автомобиль ещё ничего не проехал: . То есть сама ситуация говорит нам о том, что найденная первообразная проходит через точку . Подставляем значения:

,.

Получаем зависимость пути от времени:

Ответ: .

Итак, мы научились находить первообразные (или интегралы) для некоторых функций. И теперь можем решать множество обратных задач на производные: когда нам задана сама производная, а нужно вычислить саму функцию. Но это не основная сфера применения понятия интеграла. Об основной мы как раз поговорим в следующей части нашего урока.

Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона ― Лейбница

Немного отвлечёмся от первообразных и поговорим о геометрии. Не волнуйтесь, это всё ещё относится к теме нашего урока.

Важнейшими характеристиками плоских фигур являются их площадь и периметр, а для пространственных фигур ― площадь поверхности и объём. Для простейших фигур вы уже умеете вычислять эти характеристики. Для любого многоугольника не составит сложности найти периметр: просто складываем длины отрезков. Площадь можно найти или по готовым формулам, как для треугольника, прямоугольника, квадрата, или разбив его на прямоугольники и снова воспользовавшись готовыми формулами.

Но это касается только многоугольников и их комбинаций. В реальной жизни нас окружают тела с плавными, скруглёнными границами. И все характеристики хотелось бы вычислять для них. В курсе геометрии мы изучали такие расчёты только для одной фигуры ― круга.

Длина окружности:

Площадь круга:

А что, если это будет дуга синусоиды? Или площадь фигуры, ограниченной параболой? Для расчёта подобных задач нужен подход, похожий на работу с многоугольниками, но всё же имеющий отличие.

Вспомните: для доказательства формулы площади круга необходимо разбить его на очень много мелких секторов. Тогда площадь каждого сектора можно приближённо считать равной площади треугольника, которую мы уже можем вычислить. Получается, сумма площадей всех этих маленьких треугольников и будет составлять площадь всего круга (см. рис. 9).

, где ― периметр многоугольника, который стремится к длине окружности, .

Повторить эту тему вы можете, посмотрев урок Длина окружности. Площадь круга.

Этот же подход можно применить и при поиске площадей любых других скруглённых фигур.

Как видите, идея схожа с работой с многоугольниками: мы разбиваем объект на более мелкие части, являющиеся треугольниками или прямоугольниками. Но отличие в том, что для круглых фигур этих частей будет бесконечно много, а сами они станут бесконечно малыми. Этот подход в целом применяется для всех характеристик как плоских, так и объёмных фигур.

Про площадь мы уже сказали. Для поиска длины контура он разбивается на бесконечное количество бесконечно коротких отрезков, и общая длина считается как сумма их длин.

Аналогично и с объёмом: тело разбивается на бесконечное количество бесконечно малых частей, и их объёмы складываются.

Мы же остановимся на самой простой задаче: поиске площади криволинейной трапеции. Что такое обычная трапеция, вы помните: четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную двумя вертикальными параллельными прямыми, осью абсцисс и графиком функции (см. рис. 10). Для нахождения её площади разобьём её на множество прямоугольников очень маленькой ширины  и высотой . Площадь каждого такого прямоугольника будет равна:

.

Если мы возьмём достаточно маленькую ширину , то эту площадь можно будет считать равной площади криволинейной трапеции на этом участке. Тогда и сумма площадей этих прямоугольников будет составлять общую площадь всей криволинейной трапеции:

.

Таких слагаемых будет бесконечно много. И вкратце эту сумму записывают так:

«ʃ» ― это значок интеграла, представляющий собой вытянутую букву (от латинского summa). Буквы и показывают, какие крайние значения берутся для суммы. Их называют пределами интегрирования, а саму функцию  ― подынтегральной функцией.

Да, именно из этих обозначений пошло обозначение интеграла как множества всех первообразных. Чтобы различать эти два понятия, данную сумму называют определённым интегралом, а множество всех первообразных ― неопределённым интегралом. Сами понятия неразрывно связаны, и дальше мы увидим, как именно.

― неопределённый интеграл

― неопределённый интеграл

Рассмотрим площадь криволинейной трапеции от a до некоторого значения (см. рис. 11). Она будет зависеть от значения , которое мы возьмём, то есть это будет функция . Добавим к ней прямоугольник шириной  и высотой . Общая площадь тогда увеличится на:

.

Разделив на , получим:

Слева стоит скорость изменения площади, и она равна значению функции в данной точке. При этом чтобы площадь прямоугольника можно было считать равной добавленной площади, ширину  прямоугольника нужно устремить к нулю . В итоге в левой части равенства мы получим производную функции .

Далее если производная функции  равна , то сама функция ― это первообразная этой функции:

.

Попробуем определить константу . Мы знаем, что , так как тогда фигура превратится в отрезок с нулевой площадью. Подставляя значения, получаем:

.

Тогда:  .

Функция площади принимает вид:

.

Тогда площадь трапеции от до :

.

C другой стороны, мы эту площадь обозначили как:

Получаем равенство, которое носит название формулы Ньютона ― Лейбница:

 ― интеграл в пределах от до от  до  равен разности первообразных функции в точках и .

Итак, мы получили решение нужной задачи: для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией , прямыми  и , а также осью абсцисс, необходимо вычислить первообразную функции, а затем посчитать разность значений первообразной в точках и .

Для решения других задач, связанных с вычислением характеристик фигур, также применяется определённый интеграл. Например, с помощью него можно найти объёмы различных тел вращения. Эта задача разбирается в курсе геометрии, а остальные задачи выходят за рамки школьной программы, поэтому мы не будем рассматривать их на сегодняшнем уроке.

Посмотрим на конкретном примере, как вычисляется площадь криволинейной трапеции.

Задание 5.

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией , прямыми  и  и осью абсцисс.

Площадь криволинейной трапеции:

По формуле Ньютона ― Лейбница  нужно найти первообразную от подынтегральной функции.

Эту первообразную мы сегодня уже искали:

, где .

Тогда определённый интеграл равен:

Ответ: кв. ед.

Обратите внимание, что при вычитании константа сократилась. И действительно, площадь определяется однозначно, многозначности тут быть не может. Так что константа будет сокращаться всегда. Именно поэтому принято записывать вычисление определённого интеграла следующим образом.

После знака равно записываем в скобках первообразную без учёта константы. После ставим вертикальную черту и записываем верхний и нижний пределы интегрирования. Затем подставляем в выражение в скобках сначала верхний предел, затем пишем минус и подставляем нижний предел. Вычислив значение выражения, получим значение определённого интеграла.

Формула Ньютона ― Лейбница для вычисления определённого интеграла:

Попрактикуемся ещё в вычислении определённых интегралов.

Задание 6.

Вычислите .

Подынтегральная функция ― сумма функций, можем для каждой из них найти первообразную:

Ответ: 5.

Свойства определённых интегралов

Определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции под графиком функции. Этот факт можно использовать для упрощения вычисления некоторых определённых интегралов. Выпишем их свойства, связанные с площадью. 

Свойства определённого интеграла:

1. Любую криволинейную трапецию мы можем разбить на несколько трапеций. Например, на две: от до и от до (см. рис. 13). Для расчёта площади каждой мы можем применить определённый интеграл.

Площадь первой:

Площадь второй:

Общая площадь:

При этом общая площадь равна сумме площадей. Получаем первое свойство:

Вводя понятие определённого интеграла для площади криволинейной трапеции, мы говорили о прямоугольнике высотой . То есть подразумевалось, что это верно только для функций, принимающих лишь положительные значения. Что же делать, если функция принимает отрицательные значения?

1. На тех участках, где функция принимает отрицательные значения, можно рассмотреть функцию . Её график будет симметричен относительно оси абсцисс, то есть ограниченная площадь будет одинаковой: что выше, что ниже оси (см. рис. 14). При этом для функции  уже можно будет связать понятие определённого интеграла с площадью криволинейной трапеции. Получим на таких участках:

Или по свойству интеграла:

Получаем второе свойство определённого интеграла: для функций, принимающих отрицательные значения, площадь криволинейной трапеции будет равна определённому интегралу, взятому с отрицательным знаком, то есть:

Эту же формулу можно записать и так:

Величину  называют ещё ориентированной площадью, поскольку для отрицательных значений функции она принимает отрицательные значения. Как бы ориентируется туда же, куда и функция. Таким образом, для произвольных функций можно обобщить: определённый интеграл от функции равен ориентированной площади криволинейной трапеции в соответствующих пределах. Если же график пересекает оси абсцисс, то интеграл будет равен сумме ориентированных площадей.

Ещё несколько свойств можно записать для чётных и нечётных функций. Так, график чётной функции симметричен оси ординат.

Если мы рассмотрим интеграл в симметричных пределах от до , то площадь будет состоять из двух одинаковых частей (см. рис. 15). Именно поэтому достаточно будет вычислить площадь лишь одной из них, от 0 до a, и затем умножить её на 2. Получаем свойство для чётных функций :

Для нечётных же функций график симметричен относительно начала координат. Поэтому для интеграла в симметричных пределах площадь будет состоять из двух одинаковых частей, но они будут находиться по разные стороны от оси абсцисс (см. рис. 16). Это значит, что их ориентированные площади будут противоположны: и . Сумма этих площадей будет равна 0.

1. Получаем свойство для нечётных функций: определённый интеграл от нечётной функции в симметричных пределах равен нулю, то есть:

Вычислим несколько интегралов, используя рассмотренные свойства.

Задание 7.

Вычислите .

Обратим внимание, что пределы интегрирования симметричны (см. рис. 17). Проверим, является функция чётной или нечётной.

― функция нечётная.

Функция является нечётной, поэтому нам даже не нужно вычислять первообразную для нахождения интеграла, так как определённый интеграл от нечётной функции в симметричных пределах равен нулю, значит:

Ответ: 0.

Задание 8.

; .

Найдите , если функция  чётная.

По свойству можем разбить интеграл от –2 до 7 на 2 интеграла: от –2 до 2 и от 2 до 7:

Мы знаем, что функция чётная, значит, интеграл в симметричных пределах от –2 до 2 равен удвоенному интегралу от 0 до 2. То есть:

Тогда

Ответ: 5,8.

Друзья, на этом наш урок окончен. Спасибо за внимание!

Список литературы

1. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для 11 кл. общеобр. учреждений. Углублённый уровень / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков; под ред. В. Е. Подольского. ― М.: Вентана-Граф, 2019.

2. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для 11 кл. общеобр. учреждений. Профильный уровень. Часть 1 / А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. ― М.: Мнемозина, 2022.

3. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10–11 кл. общеобр. учреждений. Базовый и углублённый уровни / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др. — М.: Просвещение, 2018–2020.

Дополнительные рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Определённые интегралы (Источник).

Домашнее задание

1. Найдите первообразные функций:
   а) ;
   б) .

2. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

3. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми  и , осью и графиком функции .

4. Вычислите интегралы:
   а) ;
   б) .