01. Первообразная

Введение

Пример нахождения первообразной

Математические задачи, операции часто различаются как прямые и обратные. Например: сложение и вычитание, умножение и деление. Мы в последнее время занимались дифференцированием, то есть нахождением производных. На этом уроке мы займемся обратной операцией – интегрированием, или нахождением первообразных.

Прямая задача:

Дано: F(x).

Найти: F'(x) = f(x).

Пример:

Обратная задача:

Дано: F'(x) = f(x).

Найти: F(x).

Пример:

F(x) – первообразная для f(x).

Строгое определение первообразной функции

Определение:

Функцию y=F(x) называют первообразной для функции y=f(x) на заданном промежутке X, если для всех выполняется равенство:

Рассмотрение задач на основе определения первообразной функции

Закрепим определение конкретными примерами. 

Примеры:

F(x) = x – первообразная для F(x) = 1, так как

– первообразная для, так как

, то есть 

– первообразная для, так как

Таблица первообразных, проверка и обоснование

Вспомним, что для нахождения производных существовала таблица производных. Точно так же, для нахождения первообразных, имеется таблица первообразных, часть которой представлена далее (Табл. 1):

Табл. 1. Таблица первообразных

Проверим рассмотренную часть таблицы, то есть проверим определение:

F'(x) = f(x)

1. 1' = 0

2. x' = 1

3.

4.

5. 

Таким образом, эта часть таблицы проверена.

Продолжим изучение и обоснование таблицы. Следующая часть таблицы первообразных представлена ниже (Табл. 2):

Табл. 2. Таблица первообразных (продолжение)

Полезно проверить, обосновать и доказать данную часть таблицы.

6.

7.

8.

9.

10. 

Таблица обоснована.

Решение примеров и задач на определение первообразной

Теперь мы имеем определение первообразной и таблицу первообразных, обоснованную этим определением. Продолжим решение задач на определение первообразной.

Докажите: F(x) есть первообразная для f(x), если

а)

Доказательство:

б)

Доказательство:

Рассмотрим еще одну задачу.

Докажите: F(x) есть первообразная для f(x), если 

Доказательство:

Напоминание:

1.

Рассмотрим задачу с тангенсом.

Докажите: F(x) есть первообразная для f(x), если

Доказательство:

Рассмотрим задачу с косинусом.

Докажите: F(x) есть первообразная для f(x), если

Доказательство:

Рассмотрим аналогичную задачу с иррациональным выражением.

Докажите: F(x) есть первообразная для f(x), если

Доказательство:

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Проверьте, что функция является первообразной для функциина промежутке.

2. Проверьте, что функция F(x) является первообразной для функции f(x). Найдите общий вид первообразных для f, если:

3. Найдите общий вид первообразных для функции:.

   Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 984–992