07. Показательные неравенства. Более сложные случаи

Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

Решение более сложных показательных неравенств заключается, как правило, в их сведении к более простым, или, как говорят, простейшим показательным неравенствам. Простейшие показательные неравенства решаются, в свою очередь, на основе свойств показательной функции.

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция – это функция вида , где основание степени  и .

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании, большем единицы и меньшем единицы, но большем нуля соответственно.

Свойства показательной функции:

Область определения: , ;

Область значений: , ;

Функция монотонна, при  возрастает (большему значению аргумента соответствует большее значение функции, ), при  убывает (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, ); и  – любые числа.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При  , когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При  , наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

при ;

при ;

Решение типовых неравенств

Методика решения подобных неравенств:

Уравнять основания степеней;

Сравнить показатели, сохранив или изменив знак неравенства.

Пример 1:

Преобразуем неравенство, пользуясь свойствами степени:

Введем замену. Пусть , тогда

Получаем:

Умножим на два:

Переносим все в левую сторону:

Имеем систему:

Получим квадратное уравнение и найдем его корни:

,

Решим методом интервалов.

Вернемся к исходным обозначениям:

, ,

Ответ: .

Пример 2:

Пользуясь свойствами степени, получаем:

Введем замену. Пусть , тогда . Получаем:

Для квадратного уравнения  любым способом получаем корни, , .

Решаем методом интервалов:

Вернемся к исходным обозначениям:

Ответ: .

Рассмотрим новый вид неравенств.

Методика решения однородных показательных неравенств второй степени

Мы рассматривали случай, когда левая часть заданного выражения равна нулю, и изучили методику решения таких уравнений. Теперь нас интересуют неравенства. Укажем некоторое ограничение: , .

Метод решения такого вида неравенств базируется на свойствах выражения, стоящего в левой его части. Данное выражение можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно с параметром или квадратный трехчлен относительно с параметром .

Метод решения таков: нужно рассмотреть два случая:

, подставить данное выражение в исходное неравенство, получаем ,  и решаем полученное простое неравенство.

, имеем право все неравенство разделить на положительное выражение . Получим . Далее вводим замену переменных  и переходим к квадратному неравенству.

Пример 3:

Перенесем все члены в левую сторону:

В данном случае несложно выделить функции и .

,

Согласно свойствам степени имеем:

Поскольку показательная функция при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения, имеем право сразу выполнить деление:

Получаем:

Вводим замену:

, ,

Имеем квадратное неравенство:

Ветви параболы направлены вверх, корни уравнения , , решение неравенства находится в интервале между корней. Имеем систему:

Покажем решение на рисунке 7.4:

Итак, получили интервал значений :. Вернемся к исходным переменным:

,  (т. к. показательная функция при любых значениях аргумента принимает строго положительные значения);

, ,  (знак неравенства изменили, т. к. основание степени меньше единицы).

Ответ: .

Решение типовых неравенств

Пример 4:

Преобразуем согласно свойствам степени:

В данном случае несложно выделить функции и .

,

Аналогично предыдущему примеру, выполним деление:

Вводим замену:

, ,

Имеем квадратное неравенство:

Ветви параболы направлены вверх, корни уравнения , , решение неравенства находится в интервале вне корней. Имеем систему:

Покажем решение на рисунке 7.5:

Итак, получили интервал значений :. Вернемся к исходным переменным: , ,  (знак неравенства изменили, т. к. основание степени меньше единицы)

Ответ: .

Пример 5:

Перенесем все в левую часть:

Преобразуем согласно свойствам степени:

Вынесем за скобки :

Упростим выражение в скобках – приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

Имеем право домножить все неравенство на 6, т. к. это положительное число:

Кроме того, имеем право сократить неравенство на , т. к. показательная функция принимает всегда строго положительные значения, но важно при этом не забыть про ОДЗ, т. к.  существует только при неотрицательных . Таким образом, имеем систему:

Очевидно, что при  знаменатель дроби положителен, отсюда имеем, что для выполнения второго неравенства необходимо ,

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых показательных неравенств более сложного уровня. Далее мы подведем итоги изучения показательной функции.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Math.md (Источник).

2. Mathematics-repetition.com (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 474, 475;

2. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .