01. Показательная функция, её свойства и график. Начальные сведения
02. Показательная функция, её свойства. Простейшие показательные уравнения
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
04. Показательные уравнения
05. Показательные уравнения. Более сложные случаи
06. Показательные неравенства
07. Показательные неравенства. Более сложные случаи
08. Показательно-степенные неравенства
09. Понятие логарифма
10. Понятие логарифма. Простейшие задачи
11. Функция y = logₐx, её свойства и график
12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)
13. Функция y = logₐx, её свойства и график. Решение задач
14. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
15. Свойства логарифмов. Логарифм степени
16. Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач
17. Логарифмические уравнения
18. Решение логарифмических уравнений
19. Решение логарифмических уравнений (продолжение)
20. Логарифмические неравенства
21. Решение логарифмических неравенств
22. Решение логарифмических неравенств (продолжение)
23. Число e. Функция y = eˣ, её свойства, график, дифференцирование
24. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
Видео доступно по абонементу
Показательная функция с основанием, большим единицы, методика решения неравенств
Напомним свойства показательной функции с основанием, большим единицы.
, : – аргумент, независимая переменная; – функция, зависимая переменная.
График функции – экспонента (рис. 1).
Основные свойства данного семейства функций:
1. Область определения: , .
2. Область значений: , .
3. Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
4. Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.
Монотонное возрастание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени больше единицы.
Методика решения подобных неравенств:
1. Уравнять основания степеней.
2. Сравнить показатели, сохранив знак неравенства.
Показательная функция с основанием, меньшим единицы, методика решения неравенств
Напомним свойства показательной функции с основанием, меньшим единицы, но большим нуля (рис. 2).
, :
Свойства данного семейства функций:
1. Область определения: , .
2. Область значений: , .
3. Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
4. Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.
Монотонное убывание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени меньше единицы, но больше нуля.
Методика решения подобных неравенств:
1. Уравнять основания степеней.
2. Сравнить показатели, изменив знак неравенства.
Решение конкретных примеров
Закрепим приведенную методику решением конкретных неравенств.
Пример 1:
а) , , .
б) , , .
График функции и прямая пересекаются в точке с координатами . То есть при . По условию нам нужно определить, когда , это выполняется тогда и только тогда, когда .
Пример 2:
, , ,
График функции и прямая пересекаются в точке с координатами (; ). То есть при . По условию нам нужно определить, когда , это выполняется тогда и только тогда, когда .
Пример 3:
, , ,
График функции и прямая пересекаются в точке с координатами . То есть при . По условию нам нужно определить, когда . Это выполняется тогда и только тогда, когда .
Пример 4:
, ,
Итак, мы рассмотрели решение простейших показательных неравенств, на следующем уроке мы перейдем к решению показательных уравнений.
Список литературы
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 466,467.
Решить неравенства:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решить неравенства:
а) ;б) ;
в) ;
г) .
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Yourtutor.info (Источник).