01. Показательная функция, её свойства и график. Начальные сведения
39 мин
02. Показательная функция, её свойства. Простейшие показательные уравнения
11 мин
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
13 мин
04. Показательные уравнения
11 мин
05. Показательные уравнения. Более сложные случаи
21 мин
06. Показательные неравенства
16 мин
07. Показательные неравенства. Более сложные случаи
22 мин
08. Показательно-степенные неравенства
16 мин
09. Понятие логарифма
19 мин
10. Понятие логарифма. Простейшие задачи
17 мин
11. Функция y = logₐx, её свойства и график
18 мин
12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)
11 мин
13. Функция y = logₐx, её свойства и график. Решение задач
17 мин
14. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
11 мин
15. Свойства логарифмов. Логарифм степени
12 мин
16. Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач
24 мин
17. Логарифмические уравнения
12 мин
18. Решение логарифмических уравнений
14 мин
19. Решение логарифмических уравнений (продолжение)
11 мин
20. Логарифмические неравенства
14 мин
21. Решение логарифмических неравенств
13 мин
22. Решение логарифмических неравенств (продолжение)
19 мин
23. Число e. Функция y = eˣ, её свойства, график, дифференцирование
18 мин
24. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
14 мин
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
Видео доступно по абонементу
Показательная функция с основанием, большим единицы, методика решения неравенств
Напомним свойства показательной функции с основанием, большим единицы.
, : – аргумент, независимая переменная; – функция, зависимая переменная.
График функции – экспонента (рис. 1).
Основные свойства данного семейства функций:
1. Область определения: , .
2. Область значений: , .
3. Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
4. Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.
Монотонное возрастание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени больше единицы.
Методика решения подобных неравенств:
1. Уравнять основания степеней.
2. Сравнить показатели, сохранив знак неравенства.
Показательная функция с основанием, меньшим единицы, методика решения неравенств
Напомним свойства показательной функции с основанием, меньшим единицы, но большим нуля (рис. 2).
, :
Свойства данного семейства функций:
1. Область определения: , .
2. Область значений: , .
3. Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
4. Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.
Монотонное убывание функций данного семейства является ключом к решению показательных неравенств, при условии, что основание степени меньше единицы, но больше нуля.
Методика решения подобных неравенств:
1. Уравнять основания степеней.
2. Сравнить показатели, изменив знак неравенства.
Решение конкретных примеров
Закрепим приведенную методику решением конкретных неравенств.
Пример 1:
а) , , .
б) , , .
График функции и прямая пересекаются в точке с координатами . То есть при . По условию нам нужно определить, когда , это выполняется тогда и только тогда, когда .
Пример 2:
, , ,
График функции и прямая пересекаются в точке с координатами (; ). То есть при . По условию нам нужно определить, когда , это выполняется тогда и только тогда, когда .
Пример 3:
, , ,
График функции и прямая пересекаются в точке с координатами . То есть при . По условию нам нужно определить, когда . Это выполняется тогда и только тогда, когда .
Пример 4:
, ,
Итак, мы рассмотрели решение простейших показательных неравенств, на следующем уроке мы перейдем к решению показательных уравнений.
Список литературы
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 466,467.
Решить неравенства:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решить неравенства:
а) ;б) ;
в) ;
г) .
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Yourtutor.info (Источник).