01. Показательная функция, её свойства и график. Начальные сведения
39 мин
02. Показательная функция, её свойства. Простейшие показательные уравнения
11 мин
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
13 мин
04. Показательные уравнения
11 мин
05. Показательные уравнения. Более сложные случаи
21 мин
06. Показательные неравенства
16 мин
07. Показательные неравенства. Более сложные случаи
22 мин
08. Показательно-степенные неравенства
16 мин
09. Понятие логарифма
19 мин
10. Понятие логарифма. Простейшие задачи
17 мин
11. Функция y = logₐx, её свойства и график
18 мин
12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)
11 мин
13. Функция y = logₐx, её свойства и график. Решение задач
17 мин
14. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
11 мин
15. Свойства логарифмов. Логарифм степени
12 мин
16. Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач
24 мин
17. Логарифмические уравнения
12 мин
18. Решение логарифмических уравнений
14 мин
19. Решение логарифмических уравнений (продолжение)
11 мин
20. Логарифмические неравенства
14 мин
21. Решение логарифмических неравенств
13 мин
22. Решение логарифмических неравенств (продолжение)
19 мин
23. Число e. Функция y = eˣ, её свойства, график, дифференцирование
18 мин
24. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
14 мин
04. Показательные уравнения
Видео доступно по абонементу
Определение и свойства показательной функции
Как правило, все типы показательных уравнений сводятся к простейшим показательным уравнениям.
Напомним основные свойства показательной функции.
Показательная функция – это функция вида , где и .
На графике показаны кривые, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большем нуля.
Обе кривые проходят через точку .
Свойства показательной функции:
Область определения: , ;
Область значений: , ;
Функция монотонна, при возрастает, при убывает.
Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.
Методика решения простейших показательных уравнений, пример
Напомним, как решать простейшие показательные уравнения.
Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.
Методика решения:
Уравнять основания степеней;
Приравнять показатели степеней.
Например:
;
;
;
, .
Решение типовых показательных уравнений
Показательные уравнения, сводящиеся к квадратному:
Уравняем основания степеней в правой и левой части:
Получаем квадратное уравнение:
;
;
;
.
Следующий тип уравнений, когда показатели степени одинаковые, а основания разные:
Необходимо уравнять основания степени. Разделим обе части уравнения на , имеем право это сделать т. к. всегда больше нуля:
;
;
;
.
Иллюстрация:
На рисунке 2 красным показан график функции , черным – график функции , очевидно, что графики пересекаются в единственной точке при .
Рассмотрим следующий тип уравнений на примере.
(уравнение 3)
Представим второе слагаемое в левой части как произведение степеней:
Приведем подобные в левой части:
Оформить решение уравнения 3 можно иначе.
Вынесем в левой части за скобки:
;
;
;
;
;
.
Еще один тип показательных уравнений:
Воспользуемся свойствами степеней для преобразования левой части:
Складываем алгебраически полученные дроби:
Знаменатель данной дроби никогда не равен нулю, числитель приравниваем к нулю:
;
;
;
.
Данное уравнение можно было решать иначе, для этого нужно было заметить, что в показателе степени второго слагаемого можно вынести двойку за скобки и получить уравнение с одинаковыми показателями степеней.
Уравнения, где перемножаются две степени с одинаковым показателем.
Воспользуемся свойством степени:
;
;
.
Итак, мы рассмотрели решение типовых показательных уравнений. На следующем уроке мы перейдем к решению более сложных показательных уравнений.
Список литературы
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Yourtutor.info (Источник).
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 463, 464, 470
2. Решить уравнение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
3. Решить уравнение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
"