08. Показательно-степенные неравенства

Свойства показательной функции, простейшие примеры

Показательно-степенные неравенства – это такие показательные неравенства, в которых основание является переменной величиной.

Начнем с небольшого повторения. Мы изучили свойства показательной функции и отметили, что показательная функция монотонна, причем может как возрастать, так и убывать.

Мы научились решать простейшие показательные уравнения и неравенства. Их решение основано на монотонности показательной функции:

Заметим, что в данном случае основание степени а – это конкретное число, не зависящее от .

Рассмотрим примеры для степеней с постоянным основанием.

Пример 1 – решить уравнение:

Согласно методике решения простейших показательных уравнений, необходимо уравнять основания степеней, после этого приравнять показатели:

,

Пример 2 – решить неравенство:

Согласно методике решения простейших показательных неравенств при основании, большем единицы, необходимо уравнять основания степеней, после этого сравнить показатели, оставив знак неравенства без изменений:

,

Пример 3 – решить неравенство:

Согласно методике решения простейших показательных неравенств при основании, меньшем единицы, необходимо уравнять основания степеней, после этого сравнить показатели, изменив знак неравенства на противоположный:

,

Решение показательно-степенного неравенства первым способом, пример

Все остальные более сложные показательные уравнения и неравенства сводятся к простейшим и решаются на основании вышеописанных методик.

Теперь рассмотрим случаи, когда основание степени – переменная величина, то есть а зависит от :

, ,

Нам предстоит решать неравенства вида:

Необходимо рассматривать два случая:

Обратим внимание, что нужно еще рассмотреть третий случай:

, система не имеет решений.

Пример 4 – решить неравенство:

Функция, стоящая в левой части, называется показательно-степенной функцией, данная функция определена тогда, когда основание больше нуля.

Уравняем основания степеней:

Рассматриваем два случая:

, система не имеет решений.

Ответ: .

Второй способ решения показательно-степенных неравенств

Рассмотрим другой способ решения показательно-степенного неравенства:

Имеем систему:

Распишем ее:

Напомним важный опорный факт:

На основании опорного факта можно переписать систему так:

При решении показательно-степенных неравенств первым способом необходимо решать две системы и объединять решения. При решении вторым способом нужно решить только одну систему, причем неравенство уже разложено на множители, т. е. удобно применить метод интервалов.

Решение примеров

Пример 5 – решить неравенство:

Уравняем основания степеней:

Пользуемся вторым способом:

Покажем решение первого неравенства методом интервалов:

Добавим к решению второе неравенство:

Очевиден ответ: .

Пример 6:

Приведем к одинаковому основанию:

Решим первым способом:

Ответ: .

Решим заданное неравенство вторым способом:

Проиллюстрируем решение:

Ответ: .

Очевидно, что второй способ более легкий в применении. Решим с его помощью следующее неравенство.

Пример 7:

Приведем к одинаковому основанию:

Составим систему:

Несложно заметить в первом неравенстве формулу разности квадратов, распишем:

При  первые две скобки первого неравенства положительны, имеем право их отбросить, получаем:

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели решение показательно-степенных неравенств. Далее перейдем к изучению логарифмов.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Matematika-10.blogspot.com (Источник).

2. Matematika.uznateshe.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Решить неравенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2. Решить неравенства:

а) ;

б) .