01. Понятие корня n-ой степени из действительного числа

Понятие и определение квадратного корня из натурального числа

Мы довольно долго не знали, что такое корень n-ой степени из действительного числа, и умели обходиться без этого понятия, но потом появились случаи, в которых обойтись без него уже невозможно.

Рассмотрим несколько простейших примеров.

Пример 1:

Решение:

Способ 1, аналитический. Перенесем все члены в левую часть уравнения так, чтобы справа остался 0:

. Далее разложим на множители:

.

Каждый множитель приравниваем к нулю:

Получаем ответ:

Способ 2, графический. Построим кривую и прямую y=1 . Получим x=1 и x=-1 в точках пересечения графиков.

Рис. 1. График уравнений и y=1

Ответ. x=1, x=-1.

Для решения этой задачи нам не потребовалось никаких новых методов.

Пример 2:

Решение:

Способ 1.

. Разложим на множители:

. Каждый множитель приравниваем к нулю:

Получаем ответ:

Способ 2, графический. Построим график для системы, где первое уравнение – левая часть заданного выражения (), второе – правая ( y=4):

Ответами будут точки пересечения графиков, т. е. x=2 и x=-2.

Рис. 2. График уравнений и

Ответ: x=2, x=-2.

После решения двух задач нужды в новом слове не обнаружено.

Пример 3: x2=3

Решение:

Способ 1, аналитический.

. Пытаемся разложить на множители, но ничего не выходит. Попробуем другой способ.

Способ 2, графический. Построим график для системы, где первое уравнение – левая часть заданного выражения (), второе – правая ():

Рис. 3. График уравнений и

Видим, что графики пересекаются, а значит, ответы все же есть. Назовем их корень квадратный из 3 и минус корень квадратный из 3:

Ответ:,

Определение:

Квадратный корень из трех – это иррациональное число, приближенное к десятичной дроби (). Так как, в дальнейшем будем считать его арифметическим корнем.

Теперь нам нужно определить корень n-ой степени из действительного числа.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 4:

, где,

Рис. 4. График функцийи y=a

Уравнение имеет 2 корня: 

 и.

Понятие и определение корня четной степени из неотрицательного числа

Определение:

Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.

Т. е. если , то. Из этого следует тождество.

Напомним, что у любой функции, в том числе и у данной, есть 2 задачи: прямая (по данному х найти у) и обратная (по данному у, в данном случае равному а, найти х). Если значение а положительное и n четное, то значение у достигается при двух значениях аргумента – положительном и отрицательном. Положительное значение аргумента называется корнем n-ной степени из а, или арифметическим корнем n-ной степени из а.

Перейдем к нечетным степеням. Начнем с n=3.

Рис. 5. График функции, где n=3

Свойства функцииотличаются от предыдущих. Напомним, что функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат; она принимает все значения от до, а значит, любое свое значение у принимает при единственном значении х. Например,;;;;. По графику функции находим решения.

Итак, уравнение имеет единственный корень. Если этот корень неотрицательный, он называется арифметическим корнем, в противном случае – минус арифметическим корнем.

Если n – любое нечетное число, график функции имеет тот же вид и те же свойства, что и: функция нечетная, график симметричен относительно начала координат, область значений от до, любое значение, в том числе и отрицательное, функция принимает при единственном значении аргумента.

Понятие и определение корня нечетной степени из отрицательного числа

Определение:

Корнем нечетной степени из отрицательного числа а при

 называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а. Например,

 т. к.;    т. к.;    т. к.

Понятие корня n-ой степени из действительного числа позволяет уверенно решать степенные уравнения.

Решение примеров

Пример 5: решить уравнение

;

Решение.

 т. к. степень функции четная

Ответ.

.

Рис. 6. График функцийи

Пример 6:решить уравнение

;

Решение.

т. к. степень функции нечетная;

Ответ..

Рис. 7. Функции и

Доказательство иррациональности числа

В заключение повторим доказательство того, что – иррациональное число. Используем метод от противного. Предположим, что, где – несократимая дробь (такая как или). Тогда

. Обе части выражения – неотрицательные числа. Возведем их в квадрат:

. Правая часть уравнения делится на 2, а значит, и левая часть уравнения (т. е. m) тоже обязательно должна делиться на 2, a – на 4. Тогда тоже делится на 4, а n – на 2. Из этого следует, что дробь не является несократимой, ее числитель и знаменатель делятся на 2. А это противоречит нашему предположению. Следовательно, – иррациональное число.

На данном уроке мы узнали, что такое корень n-ной степени из действительного числа, и научились использовать его на практике.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Terver.ru (Источник).

2. Uztest.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение: № 383, 385, 389, 394, 396, 404.

2. Решите уравнение: а)

   , б), в).

3. Вычислите: а) б).