01. Показательная функция, её свойства и график. Начальные сведения
02. Показательная функция, её свойства. Простейшие показательные уравнения
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
04. Показательные уравнения
05. Показательные уравнения. Более сложные случаи
06. Показательные неравенства
07. Показательные неравенства. Более сложные случаи
08. Показательно-степенные неравенства
09. Понятие логарифма
10. Понятие логарифма. Простейшие задачи
11. Функция y = logₐx, её свойства и график
12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)
13. Функция y = logₐx, её свойства и график. Решение задач
14. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
15. Свойства логарифмов. Логарифм степени
16. Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач
17. Логарифмические уравнения
18. Решение логарифмических уравнений
19. Решение логарифмических уравнений (продолжение)
20. Логарифмические неравенства
21. Решение логарифмических неравенств
22. Решение логарифмических неравенств (продолжение)
23. Число e. Функция y = eˣ, её свойства, график, дифференцирование
24. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
10. Понятие логарифма. Простейшие задачи
Видео доступно по абонементу
Определение и свойства показательной функции, определение логарифма
Напомним, откуда появилось понятие логарифма. Для этого вспомним понятие показательной функции и ее важнейшие свойства.
Показательная функция – это функция вида , где и :
На графике красным показана показательная функция с основанием, меньшим единицы (), а черным – с основанием, большим единицы ().
Основные свойства показательной функции:
Область определения: , ;
Область значений: , ;
Функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при .
Как и с любой функцией, с показательной связаны две основные задачи:
Прямая – по заданному значению аргумента определить значение функции:
Обратная – по заданному значению функции определить значение аргумента: , , , , .
Существует ли ? Да, существует. При выполнении всех заданных условий решение уравнения существует, и оно единственное. Проиллюстрируем:
Каждое положительное значение функция достигает при единственном значении аргумента. Данное значение аргумента носит название логарифма:
Определение:
Логарифмом числа по основанию называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .
Основное логарифмическое тождество, простейшие примеры
Решение уравнений с логарифмами
Примеры:
; ;
Пример 1 – решить уравнение: (Рис. 3).
а)
Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:
,
По определению логарифма:
б) (Рис. 4).
Задано простейшее показательное уравнение, которое мы умеем решать. Уравняем основания степеней:
,
По определению логарифма:
в) (Рис. 5).
По определению логарифма:
Cогласно основному логарифмическому тождеству ()
,
То есть, мы, как и раньше, уравняли основания степеней и получили ответ.
г) (Рис. 6).
По определению логарифма:
Cогласно основному логарифмическому тождеству ()
,
Пример 2:
Доказать, что число – иррациональное.
Напомним, что рациональными числами называются дроби, где числитель – любое целое, а знаменатель – любое натуральное число:
Доказательство – от противного:
Пусть число – рациональное. Мы знаем, что данное число положительно. Получаем:
, ,
Тогда по основному правилу имеем:
Возведем обе части полученного уравнения в степень :
,
Получили противоречие: имеет простые сомножители числа 3, а – числа 2, не кратно двум:
Полученное противоречие доказывает, что число – иррациональное.
Пример 3 – решить неравенство: Рис. 7.
Способ 1 – решить уравнение и использовать свойства показательной функции:
По определению логарифма:
Нас интересуют те значения аргумента, при которых показательная функция больше линейной. Очевидно, что это значения .
Ответ:
Способ 2 – уравнять основания:
Применим основное логарифмическое тождество:
Основание степени больше единицы, получаем ответ:
Получили такой же ответ, как и при решении первым способом.
Решение других типовых задач
Пример 4 – вычислить:
а)
Воспользуемся свойством степени – если в показателе стоит произведение, имеем право представить степень как возведенную в степень:
Применим основное логарифмическое тождество:
б)
Согласно определению, степень с отрицательным показателем можно представить в виде дроби:
Воспользуемся свойством степени – если в показателе стоит произведение, имеем право представить степень как возведенную в степень:
Применим основное логарифмическое тождество:
Итак, на данном уроке мы вспомнили определение и свойства показательной функции, определение и основные свойства логарифма. Также мы научились решать основные типовые задачи с логарифмами. Далее мы перейдем к изучению логарифмической функции.
Список литературы
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 488–490;
2. Решить уравнение:
a) ;
б) ;
в) ;
г) ;
3. Решить неравенство:
a) ;
б) ;
в) ;
г) ;
"