09. Понятие логарифма

Основание для введения нового понятия, логарифм в частном случае

Логарифм для нас – новое понятие. Полезно вспомнить ситуации, когда мы вводили новые понятия, то есть когда без них уже невозможно обойтись. Для этого решим несколько примеров.

Пример 1:

Мы знаем, как решаются подобные уравнения. Решим его двумя способами.

Способ 1 (аналитический):

,

В данном способе мы уравняли основания степеней и приравняли полученные показатели.

Способ 2 (графический):

Разбиваем заданное уравнение на две функции и выполняем построение в одной системе координат.

;

График первой функции – экспонента, второй – прямая. , следовательно, имеем единственную точку пересечения графиков – единственный корень уравнения, который легко угадывается и проверяется подстановкой в заданное уравнение.

Ответ: .

Пример 2:

Аналогично предыдущему примеру, решим двумя способами.

Способ 1 (аналитический):

,

Способ 2 (графический):

;

Ответ: .

До сих пор для решения уравнений нам не требовалось никаких новых терминов.

Пример 3:

Пытаемся решить первым способом:

Не можем найти подходящую степень числа 2, не можем уравнять основания.

Возможно, уравнение не имеет решения. Построим график:

;

Очевидно, что решение есть, т. к. графики пересекаются, но угадать или подобрать корень невозможно.

Экспонента  рассекает прямую  в единственной точке, этой точке соответствует конкретное значение аргумента, которое назвали логарифмом числа 11 по основанию 2:

Итак, логарифм – это такой показатель степени, в который нужно возвести ее основание, чтобы получить заданное число, т. е. логарифм одиннадцати по основанию два – это такой показатель степени, в который нужно возвести основание два, чтобы получить одиннадцать.

Теперь рассмотрим общий случай и дадим строгое определение.

Рассмотрим уравнение:

, , , ,

При выполнении поставленных условий уравнение имеет единственное решение:

Строгое определение логарифма, основное логарифмическое тождество, элементарные примеры

Определение:

Логарифмом числа по основанию называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Исходя из определения, имеем основное логарифмическое тождество:

Например:

; ;

Основное правило для решения простейших задач, примеры

Отметим важное правило:

Чтобы получить число , стоящее под знаком логарифма, необходимо возвести основание в степень :

Решение типовых задач с логарифмами

Пример 4 – вычислить:

а)

б)

Решение:

Обозначим искомые логарифмы через и и используем правило:

а)

Получили показательное уравнение, решать такие уравнения мы уже умеем. Уравняем основания и получим ответ:

,

б)

Получили показательное уравнение, решать такие уравнения мы уже умеем. Уравняем основания и получим ответ:

, ,

Пример 5 – проверить равенства с логарифмами:

а)

Используем правило:

, ; ; ;

Равенство верно

б)

Используем правило:

, ; ;

Равенство верно

Рассмотрим простейшие уравнения.

Пример 6 – решить уравнение:

а)

Используем правило:

, ;

Oбратим внимание, что под логарифмом должно стоять строго положительное число:

,

Найденное решение удовлетворяет ОДЗ, т. к.

б)

Используем правило:

,

, ОДЗ соблюдено

в)

Используем правило:

, ,

Подлогарифмическое выражение очевидно положительно

Основание логарифма должно быть больше нуля и не равным единице:

,

Найденный корень удовлетворяет условию

г)

Используем правило:

, ,

Подлогарифмическое выражение очевидно положительно , .

Найденный корень удовлетворяет условию

Большую роль в вычислительных задачах с логарифмами имеет основное логарифмическое тождество.

Пример 7 – вычислить:

а)

б)

воспользуемся свойством степени: если в показателе степени стоит сумма, степень можно представить как произведение степеней с одинаковым основанием:

Итак, на данном уроке мы познакомились с понятием логарифма, рассмотрели его основные свойства и решили простейшие типовые задачи. Далее мы продолжим работать с этим важным понятием.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Uztest.ru (Источник).

2. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 477–480;

2. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .