05. Понятие определённого интеграла, формула Ньютона-Лейбница

Напоминание о 3 задачах, рассмотренных на предыдущем уроке

Напомним три задачи, рассмотренные на прошлом уроке, которые сводятся к нахождению одной и той же площади криволинейной трапеции.

Дано:.

Найти: S.

О массе стержня AD

Дано:

Найти:

О перемещении точки по прямой

Дано:

Найти:.

Метод решения

Таким образом, если мы сумеем найти площадь под кривой, площадь криволинейной трапеции, мы решим эти три, а также многие другие задачи.           

Напомним метод решения. Он заключается в следующем:

Разбить отрезок на n равных частей:

Сосчитать, то есть площадь подступенчатой ломаной.

Найти:

Прежде чем найти указанный предел, примем важное определение и переобозначение.

Рассмотрим интегральную сумму:

Площадь криволинейной трапеции записывается следующим образом:

Определение определенного интеграла

Определение: Определенный интеграл от функции по отрезку – это предел интегральных сумм при.

Обсудим каждый элемент введенного определения:

a, b – пределы интегрирования.

 площадь криволинейной трапеции подынтегральной функции f(x) в пределах от a до b.

Решение задач через определенный интеграл, физический и геометрический смысл определенного интеграла

Выпишем решение трех задач через определенный интеграл.

 (геометрический смысл определенного интеграла).

Масса неоднородного стержня,.

Перемещение точки вдоль прямой, если известна скорость, (геометрический и физический смысл определенного интеграла).

Для того чтобы вычислить определенный интеграл, а с ней и площадь криволинейной трапеции, для начала рассмотрим теорему.

Теорема о вычислении определенного интеграла

Теорема: Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке, то есть:

Обсудим полученную формулу.

Доказательство теоремы

Доказательство: На отрезке зафиксируем X и найдем площадь под кривой на отрезке, то есть каждому x ставится в соответствие S(x), введена новая функция.

Отсюда площадь криволинейной трапеции равняется приращению любой первообразной на отрезке.

Формула Ньютона-Лейбница

 – непрерывная на отрезке.

Свойства определенного интеграла

Решение примера на определенный интеграл, геометрическая интерпретация

Пример:

Вычислить:

Решение:

.

Пояснение:

Геометрическая интерпретация:

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathprofi.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Докажите, что равенство верно:

   .

2. Вычислите интеграл:

3. Вычислите интеграл:

4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1021–1025