02. Функция

Понятие функции, основные определения

Нам известно, что между всеми точками координатной прямой и всеми действительными числами существует взаимооднозначное соответствие. Понятие функции рассматривается именно на множестве действительных чисел.

Рассмотрим пример: поход из дома в школу и возвращение после этого домой. Процесс дом → школа → дом (см. рисунок 1). Осьсоответствует времени, на осимы будем откладывать расстояние. Представим примерный график рассматриваемого процесса – рисунок 1.

Общим для всех подобных процессов является то, что в конкретный момент временимы находимся на конкретном расстоянии от дома, причем на единственном – то есть в один момент времени мы находимся в одном конкретном месте – не можем находиться в двух местах одновременно. Единственность от аргумента к функции является очень важным моментом в определении функции.

Определение

Закон,, по которому каждому значению независимой переменной (аргументу)ставится в соответствие единственное значение называется функцией.

В рассматриваемом примере (рис. 1) аргумент меняется от нуля до:– область определения функции. Функция изменяется от нуля до– область значений функции:.

Все явления, встречающиеся в природе, науке, технике и т. д., таковы, что каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Рассмотрим изменение температуры от лета к зиме и снова к лету (см. рисунок 2):

Мы наблюдаем некоторую периодичность. Вспомним, что с периодичными функциями мы уже встречались. Например, тригонометрические функции.

Кроме того, к свойствам функции относится непрерывность и интервалы знакопостоянства, интервалы возрастания и убывания.

Непрерывность функции: если есть такая точка, в которой значение функции положительно – температура положительна, то найдется такаяокрестность данной точки, в которой функция всё еще будет положительна,

Чтобы стать отрицательной функция, в данном случае температура должна пройти через ноль. То есть должен появиться корень функции – такое значение, при подстановке которого в функцию она обращается в ноль.

Поведение функции в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ

Изучим поведение непрерывной функции в окрестности корня.

А)

 – корень функции, по определению функция в этой точке равна нулю. Слева от корня функция была отрицательна, справа от корня стала положительна (см. рисунок 3). Функция возрастает.

Б)

Слева от корня функция была положительна, справа от корня стала отрицательна (см. рисунок 4). Функция убывает.

В)

Слева от корня функция была положительна, дошла до нуля и снова справа положительна (см. рисунок 5). Здесь в корне точка минимума.

Г)

Слева от корня функция была отрицательна, дошла до нуля и снова справа отрицательна (см. рисунок 6). Здесь в корне точка максимума.

Изучим поведение функции в окрестностях корня знаменателя:

А) ;– корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в плюс или минус бесконечность. При положительном значении аргумента функция положительна, при отрицательном – отрицательна – см. рисунок 7

Б) ;– корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в плюс или минус бесконечность. При положительном значении аргумента функция отрицательна, при отрицательном – положительна – см. рисунок 8

В) ;– корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в плюс бесконечность. При любом значении аргумента функция положительна – см. рисунок 9

Рис. 9. График функции

Г) ;– корень знаменателя, при таком значении аргумента функция не существует. Около нуля функция уходит в минус бесконечность. При любом значении аргумента функция отрицательна см. рисунок 10

Рис. 10. График функции

Интервалы знакопостоянства

Так, непрерывная функция может поменять знак или в корне функции, или в корне знаменателя – то есть в точке разрыва области определения.

Пример

Рассмотрим функцию:

корни функции:,;

корни знаменателя:,.

Имеем интервалы знакопостоянства функции:;;;;. Внутри каждого интервала функция сохраняет знак.

Поскольку в точкезнак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью, функция убывает. В точкенаоборот, функция возрастает (см. рисунок 11).

Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак.

Рассмотрим интервалы знакопостоянства каждого множителя, составляющего функцию, и всей функции:

Так, непрерывная в ОДЗ функция имеет интервалы знакопостоянства.

Решение неравенства методом интервалов

Пример

Решить неравенство методом интервалов:

Шаг 1: вводим функцию, которая стоит в левой части, если справа ноль:

шаг 2: определяем интервалы знакопостоянства и знак функции на каждом интервале.

ОДЗ:,.

Корни:,.

Интервалы знакопостоянства, знаки определены (функция была рассмотрена в предыдущем примере) – см. рисунок 12

Шаг 3: вернемся к неравенству, нас интересуют значения, меньшие либо равные нулю.

Ответ:.

Вывод

Итак, мы рассмотрели определение функции и метод интервалов при решении неравенств. На следующем уроке рассмотрим построение эскиза графика функции.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2011.

4. Алимов А.Ш. Алгебра и начала математического анализа. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математический форум Math Help Planet (Источник)

2. Интернет-сайт gimn7matem.narod.ru (Источник)

3. Интернет-сайт ege-study.ru (Источник)

Домашнее задание

Задание 1: указать интервалы знакопостоянства функций и знаки на каждом интервале:

А) 

Б) 

В) 

Задание 2: построить в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ графики функций:

А) 

Б) 

В)