05. Функции 3-й и 4-й степени

Вспомним, что означает фраза «решить уравнение». Например, решить уравнение третьей степени – означает найти все корни этого уравнения.

Пример нахождения уравнения третьей степени по заданным корням

Решим обратную задачу.

Пусть три корня уравнения известны, необходимо подобрать уравнение третьей степени.

1. Пусть известны следующие корни

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Мы решили некоторые задачи, которые подразумевают найти уравнение третьей степени по заданным его корням. Теперь рассмотрим функции третьей степени, которые имеют заданный ранее набор корней. Решим следующую задачу.

Построение эскиза графика функции третьей степени по заданным корням

Построить эскиз графика функции.

а)

б)

в)

Построение.

а)

Функция имеет три корня .

Отмечаем корни и выделяем интервалы знакопостоянства. Расставим знаки функции на этих интервалах. На интервале и функция принимает отрицательные значения, а на интервале и – положительные. Строим график функции в окрестности каждого корня. Узнаем, как функция ведёт себя в окрестности бесконечно удалённых точек. Если, то и . Таким образом, получаем график (рис. 1):

б)

Функция имеет три корня .

Отмечаем корни и выделяем интервалы знакопостоянства. Расставим знаки функции на этих интервалах. На интервале и функция отрицательная, а на интервале . Построим эскиз графика в окрестности каждого корня (рис. 2).

в)

Функция имеет три корня . Графиком функции будет кубическая парабола, сдвинутая вправо на одну единицу (рис. 3).

Общие свойства функции третьей степени

Приведённые примеры позволяют осознать общие свойства функции третьей степени.

Рассмотрим общий вид функции третей степени:

Функция:

Свойства: ; есть хотя бы один корень.

Возьмём

Графики могут выглядеть следующим образом (рис. 4):

– это ордината точки пересечения с осью Оу.

Функция четвёртой степени

Рассмотрим функции четвёртой степени.

Функция:

Свойства: ; число корней: .

Возьмём .

Одним из главных отличий функций третьей и четвёртой степени является то, что при третьей степени у мог принимать любое значение, а при четвёртой степени у принимает значения из некоторого луча. И уравнение третьей степени должно иметь хотя бы один корень, а уравнение четвёртой степени может не иметь корней.

Рассмотрим график функции четвёртой степени. При ветви на бесконечностях направлены вверх (рис. 5).

В случае, если нет корней, и при график может иметь следующий вид (рис. 6). Например:

Рассмотрим примеры.

Пример исследования функции третьей степени

Пример 1

Исследовать функцию: .

Решение.

Построим эскиз графика функции без производной и посмотрим на её поведение (рис. 7).

1. Вынесем за скобки , получим . Найдём корни:

а) при

Выделяем интервалы знакопостоянства функции и определяем знак функции на каждом интервале. По графику можем увидеть, что 0 – точка максимума.

б)

Мы построили эскиз графика функции без производной. Далее определим свойства графика функции с помощью производной.

1. ;

Выделяем интервалы знакопостоянства производной, определяем знаки производной на каждом интервале. Там, где знаки производной положительные – функция возрастает, там, где отрицательные – убывает.

– критические точки функции. При переходе аргумента через 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, 0 –точка максимума. При переходе аргумента через точку функция меняет знак с «-» на «+», значит, – точка минимума.

Вычислим значение функции в точках 0 и .

Ответ:

1. Функция

— возрастает при ; при ;

— убывает при .

1. – точка max,

– точка min

Пример исследования функции четвертой степени

Пример 2

Решим задачу на функцию четвёртой степени.

Дана функция: . Найти множество значений функции.

Решение.

Рассмотрим сначала решение без применения производной. Выделим интервалы знакопостоянства.

Определим знак функции на каждом интервале и построим график функции в окрестностях каждого корня. Выясняем, что 0 – точка максимума. Учитывая чётность функции, получаем симметричные точки минимума. Найдём наименьшее значение функции и получим .

1. Найдём производную, выделим её интервалы знакопостоянства.

Находим критические точки:

Интервалы знака постоянства производной (интервалы монотонности для функции) (рис. 11):

Точка 5 – точка минимума.

1. Вычислим значение функции в точке минимума:

Задача решена.

Ответ: .

Список литературы

1. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

Полезные ссылки

1. Интернет-портал Uztest.ru

2. Интернет-портал Uztest.ru

3. Интернет-портал Uztest.ru

Проверьте себя

1. Исследовать функции: