02. Правила отыскания первообразных

Определение первообразной функции

Определение. Функцию называют первообразной для функции

 на заданном промежутке, если для всех из выполняется равенство.

Методика нахождения первообразной на примерах

Несколько разъясняющих примеров:

 – первообразная для

Чтобы это подтвердить, возьмем производную

 первообразная для

Итак, мы привели 2 примера, которые подтверждают определение и используют его.

Напомним две задачи:

Прямая задача: Дана функция. Найти. Процесс называется дифференцированием.

Обратная задача: Дана функция – производная неизвестной функции

Найти

Процесс называется интегрированием.

Какие основные инструменты для нахождения первообразных?

Таблица первообразных

Нахождение

- таблице первообразных, которую мы повторим;

- правилам отыскания первообразных, которые мы изучим.

Таблица

Проверим:

Таким образом проверяются все строчки таблицы. То есть, выполняется соотношение:

.

Правила отыскания первообразных с подтверждающими примерами

Переходим к правилам отыскания первообразных.

Правило 1.

Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

 что и требовалось доказать.

Пример 1

Функция состоит из двух функций. Найти первообразную функции:

Пример подтверждает правило 1.

Правило 2. (о постоянном множителе)

Дано:

, то есть F – первообразная для f, k – const.

Доказать: kF – первообразная для kf.

Доказательство:

Доказательство основывается на определении первообразной и на правиле дифференцирования:

. Что и требовалось доказать.

Смысл правила: если мы знаем первообразную для f, то чтобы получить первообразную для kf, нужно первообразную F умножить на k.

Подтверждающий пример:

Правило 3. Если – первообразная для функции

, то первообразная для.

Дано:

.

Доказать:

, что и требовалось доказать.

Пример 2

Если ,то

Проверка: ( .

.

Необходимые пояснения: вместо x мы имеем скобку ( 2x+1). Как это отражается на нахождении первообразной? Следующим образом: первообразная от но надо разделить на коэффициент при х.

Пример 1.

Найти одну из первообразных для функции

a)     

Решение:

a)

Ответ:

Проверка:

.

.

Пример 2.

Найти одну из первообразных для функции

б)

Решение:

б)

Ответ:

Проверка:

=

.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Cleverstudents.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Найти одну из первообразных для функции

2. Найти одну из первообразных для функции 

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 991, 992, 994, 995.