06. Предел функции. Непрерывность. Профильный уровень

Непрерывность функции

Функция является инструментом для решения огромного количества задач разных типов. Но чтобы использовать такой инструмент, как функция, она должна обладать «полезными» свойствами. Одним из важнейших свойств функции является её непрерывность. Интуитивно понятно, что это такое. Действительно, если посмотреть на графики практически всех изученных нами функций (см. рис. 1), то мы увидим, что их можно нарисовать, не отрывая ручки от листа бумаги (или делая это 1–2 раза). Однако не все функции обладают свойством непрерывности (см. рис. 2). А точки, в которых график функции «разрывается», представляют особый интерес при исследовании различных процессов (это определённая аномалия) и требуют отдельного изучения.

Из определения функции не следует, что её график должен представлять собой неразрывную линию. В общем случае все точки графика могут быть «разбросаны» по координатной плоскости и никакую линию не образовывать. Но, во-первых, такие функции будут практически бесполезны в качестве математических инструментов; во-вторых — может, это даже более существенно — все реальные процессы в природе и технике описываются более-менее «красивыми» функциями, которые на всей области определения (или почти на всей) имеют графиком сплошную неразрывную линию. Это связано с тем, что даже резкое изменение состояния системы во времени происходит не одномоментно, а разрыв — это чаще всего катастрофическое изменение, которое случается редко.

Рассмотрим важность свойства непрерывности функции на примере.

Пример:

Исследовать уравнение вида  на наличие решений.

Левая часть может выглядеть достаточно сложной, например:

Мы хотим понять, есть ли у этого уравнения решения. Область определения левой части уравнения — только положительные числа, то есть , иначе логарифм не существует. Посмотрим на значение функции вблизи нуля, например в точке, где .

Подставим в функцию вместо его значение, получаем: , где ,,,, а значит, .

С другой стороны, если , то получаем .

Мы получили две точки графика, одна из которых находится под осью — точка , другая над осью — точка (см. рис. 3).

При этом если нам известно, что все четыре функции на этом интервале непрерывны (их графики не «рвутся») и, как результат, их сумма, то есть функция , тоже непрерывна, то логика подсказывает нам, что график данной функции по пути от точки А к точке В обязательно пересечёт ось хотя бы в одной точке  (см. рис. 4), но это и есть решение исходного уравнения. То есть мы поняли, что уравнение имеет решение. Кроме того, мы знаем достаточно узкий интервал, где этот корень находится — . Если мы скажем, что корень данного уравнения , то ошибёмся не больше чем на пол-единицы, что для решения некоторых задач достаточно неплохо. Если немного постараться, то интервал можно сузить.

В оценке корня очень важна была непрерывность функции на исследуемом интервале. Ведь если предположить, что график разрывается в каких-то точках (см. рис. 5), то мы не могли бы утверждать, что при переходе от отрицательных значений к положительным значениям график обязан пересечь ось .

При рассмотрении предыдущего примера мы воспользовались важной теоремой математического анализа — теоремой Больцано — Коши.

Теорема Больцано — Коши: если непрерывная функция принимает два различных значения, то она принимает и все значения между ними хотя бы по одному разу (см. рис. 6).

Следствие. Если на концах промежутка функция принимает значения разных знаков, то на самом промежутке она хотя бы в одной из точек принимает значение «ноль» (см. рис. 7).

На предыдущем уроке по многочленам, используя теорию делимости и некоторые знания из комплексного анализа, мы доказали, что многочлен нечётной степени с целыми коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный. Теорема Больцано — Коши подтверждает данный вывод.

Теорема Больцано — Коши

Левая и правая ветви графика многочлена вида  направлены в разные стороны (см. рис. 8).

Если увеличивать , то найдётся такое , что:

То есть старший член многочлена станет больше по модулю, чем любые из остальных. Но тогда в зависимости от знака старшего коэффициента получаем:

Получается, что можно взять достаточно большие по модулю значения , чтобы многочлен принимал значения разных знаков.

Пример:

Рассмотрим многочлен вида .

Подставим :

То есть значение многочлена является отрицательным.

Подставим :

Легко видеть, что значение многочлена положительно.

Тогда по теореме Больцано — Коши между числами –10 и 10 есть корень многочлена. Мы можем легко улучшить оценку.

Найдём значение многочлена при , получаем: ,  (см. рис. 9). Таким образом, корень многочлена находится между числами –10 и 0.

Заодно мы увидели метод поиска приближённого значения корня.

Метод поиска приближённого значения корня:

1. Находим интервал, на концах которого многочлен (или другая непрерывная функция) принимает значения разных знаков.

2. Берём середину интервала и вычисляем значение функции.

3. Выбираем тот из двух интервалов, на концах которого знаки разные.

4. Повторяем пункты 1–3 до тех пор, пока нас не устроит полученная точность интервала.

Предел функции. Определение непрерывности

В рассмотренной задаче по поиску интервала, в котором находится корень уравнения, решающее значение имела непрерывность функции. Но до сих пор кроме того, что её график выглядит сплошной линией без разрывов, мы ничего не сказали о строгом определении этого понятия.

Исследовании функции на непрерывность

Рассмотрим параболу  и её значение в точке  (см. рис. 10).

Вернее, не только в самой точке, но и вблизи неё, или, как говорят, в некоторой окрестности точки . Найдём значение функции в данной точке:

А значения функции в точках, близких к 1, близки к 2.

Строго можно сказать, что какую бы последовательность  (последовательность иксов, приближающуюся к 1) мы ни взяли, последовательность значений функций приближается к 2, то есть . В математике про неограниченное приближение говорят «стремится». Стремление значения функции к 2 при стремлении аргумента к 1 записывается следующим образом:

.

Говорят, что «предел функции в точке 1 равен двум» или «функция стремится к двум при стремлении к 1».

Может показаться, что мы ничего нового не сделали.

Значение функции в точке 1 равно 2, предел функции в точке 1 равен 2 — в чём разница?

Давайте «испортим» функцию в точке 1.

Рассмотрим функцию  (см. рис. 11).

В данном случае , но предел функции, то есть , так как понятие предела не затрагивает точку 1. Любая последовательность из предыдущего примера продолжает сходиться к 2, а не к 3, и при этом мы видим разрыв на графике. Про функцию говорят: «функция имеет разрыв в точке 1».

Из примеров выше мы увидели, что для непрерывности необходимо, чтобы предел функции в точке был равен значению функции в этой точке.

Определение. Функция  непрерывна в точке , если:

Если предел функции в точке и значение функции в этой точке совпадают, то функция непрерывна в этой точке. Если так происходит на целом интервале, то говорят, что функция непрерывна на интервале. Например, функция  непрерывна в каждой точке действительной прямой, то есть на всей своей области определения.

Основные арифметические операции с непрерывными функциями сохраняют непрерывность, то есть если функции  являются непрерывными, то ,,,(где ) — непрерывные функции. Тогда, показав, что функции вида  и  являются непрерывными на всей области, мы получаем, что все многочлены  — тоже непрерывные функции, так как они получаются умножением и сложением этих двух функций.

Виды разрывов

Можем сделать вывод, что непрерывность — это естественное и распространённое свойство для тех функций, которые принято изучать в математике. Тем не менее оно выполняется не всегда. Рассмотрим, что же в этом случае может произойти с функцией. Один случай рассмотрен ранее. Когда предел функции в точке равен одному числу, а значение функции в этой точке или равно другому числу, или не определено в этой точке (см. рис. 12). Откуда может появиться такая ситуация?

Задание 1.

Постройте график функции .

Для построения графика данной дробно-рациональной функции попробуем разложить многочлен в числителе на множители:

Таким образом, график данной функции — парабола с выколотой точкой на графике (см. рис. 13).

В точке  функция терпит разрыв, предел функции равен 2, но сама функция в этой точке не определена.

Если доопределить функцию в данной точке, а именно , то функция становится непрерывной (см. рис. 14), разрыв устранён. Такие разрывы называют устранимыми.

В других случаях дело может оказаться не в значении функции в точке, а в самом пределе функции. Часто функцию составляют из нескольких кусков непрерывных функций. Эти функции называют кусочно-непрерывными.

Выполним задание.

Задание 2.

Исследуйте функцию  на непрерывность.

При  графиком является кусок параболы функции , при  графиком является кусок прямой функции . Куски совмещены так, что один переходит в другой. Если приближаться к точке  слева по параболе, то передел равен 1, если справа по прямой, то предел также равен 1 (см. рис. 15.).

Такие пределы так и называют — предел слева и предел справа. Если они равны друг другу, то считается, что существует обычный предел и он равен им же. То есть в данном случае предел справа равен пределу слева и равен значению функции в этой точке. Данное утверждение записывается следующим образом:

Минус и плюс рядом с нулём внизу как раз и означает — слева или справа мы подбираемся к нулю.

При этом два куска можно составить таким образом, что получится разрыв. Приподнимем правую линейную функцию на единицу, получим кусочно-непрерывную функцию:  (см. рис. 16).

Предел слева не изменился: . А вот предел справа стал больше на единицу: . Разрыв устранить невозможно, меняя значения функции, так как пределы слева и справа не равны друг другу. Функция при переходе через точку ноль делает скачок, такой разрыв называют разрывом с конечным скачком.

Задание 3.

Исследуйте функцию  на непрерывность.

Графиком данной функции является гипербола; очевидно, что в точке  функция имеет разрыв. Рассмотрим пределы слева и справа (см. рис. 17). Если мы приближаемся к точке ноль по оси слева, то значение функции уходит в минус бесконечность, то есть . Если мы приближаемся к точке ноль по оси справа, то значение функции уходит в плюс бесконечность, то есть . Такой разрыв называется бесконечным разрывом.

Вы могли подумать, что дело в том, что бесконечности имеют разные знаки, то есть не равны друг другу. Но это не так.

Рассмотрим функцию , пределы слева и справа от точки ноль равны плюс бесконечности:  и . Но нельзя говорить, что пределы равны друг другу, так как понятие равенства определено только для конечных чисел. Мы не можем доопределить функцию в точке , чтобы добиться непрерывности. Функция также терпит бесконечный разрыв (см. рис. 18).

Рассмотрим ещё один тип разрыва, который вызван отсутствием предела вообще. То есть функция около точки  не стремится ни к конечному числу, ни к бесконечности.

Задание 4.

Исследуйте функцию  на непрерывность.

Область определения функции — все числа, кроме нуля. Функция косинус чётная, график симметричен относительно оси . Рассмотрим только правую часть, в левой части будет происходить всё то же самое. Наша функция получена из функции  переворачиванием аргумента. Если мы перевернули аргумент, то график отразился относительно единицы (см. рис. 19). То, что было очень близко к нулю, оказалось очень далеко в правой части оси , и наоборот — то, что было очень далеко, прижалось близко к нулю. Точка графика  осталась неподвижной. Часть графика между 1 и 0 растянулась от 1 до бесконечности. А часть от 1 до бесконечности втиснута между 1 и 0.

Рассмотрим поведение функции при приближении к нулю. График функции делает всё более частые колебания между –1 и 1, функция колеблется, вибрирует с неутихающей амплитудой и не пытается принять какое-то положение. Появляется большое количество максимумов. Несложно найти эти точки:

Если мы построим такую последовательность иксов, то все значения функции в них равны единице. Это похоже на то, что предел функции равен единице, но только похоже. Для предела функции важно, чтобы значения функции для любой такой последовательности сходились к одному и тому же числу. Но мы можем также построить последовательность из точек минимума (попробуйте сделать это самостоятельно), и все значения функции будут равны минус единице (см. рис. 20).

Точно так же можно построить последовательность иксов, чтобы значения функции во всех точках были равны любому числу от –1 до 1. Таким образом, можем сделать вывод, что предел не существует, о непрерывности речь не идёт.

Вертикальные асимптоты

Вернёмся к бесконечным разрывам. В приведённых примерах  и  (см. рис. 21) бесконечный разрыв означает, что график функции приближается к вертикальной прямой, которая называется вертикальной асимптотой.

В данных примерах это ось , которая имеет уравнение .

Таким образом, если хотя бы один из пределов (слева или справа) в точке  равен плюс или минус бесконечности, то прямая  является вертикальной асимптотой.

Пример:

Исследуйте функцию на непрерывность: .

Нам дана дробно-рациональная функция. Разложим квадратные трёхчлены в числителе и знаменателе данной функции на множители:

, знаменатель обращается в ноль при  и . Данные точки задают вертикальные асимптоты. Чтобы понять, как ведёт себя график рядом с указанными асимптотами, нужно найти все односторонние пределы. Найдём один из пределов, а остальные вы сможете вычислить самостоятельно.

Так как мы приближаемся к –1, подставим в данный предел вместо число –1, где это можно делать, получаем:

Обратите внимание, что стремится к –1 именно слева, то есть значение в нераскрытых скобках будет стремиться к 0, оставаясь всегда отрицательным, следовательно, вся дробь устремляется к плюс бесконечности, а значит, предел слева равен плюс бесконечности:

Аналогично находятся и остальные пределы, пожалуйста, сделайте это самостоятельно.

Запишем получившиеся пределы:

Изобразим поведение графика вблизи асимптот. Для этого изображаем асимптоту, а далее смотрим на односторонний предел и изображаем кусочки графика (см. рис. 22).

Горизонтальные и наклонные асимптоты

Осталось рассмотреть поведение графика на левом и правом краях оси . Для этого мы снова используем пределы, но уже при стремлении к отрицательной или положительной бесконечностям. Вернёмся к нашему примеру.

Пример:

Исследуйте функцию на непрерывность: .

Вычислим предел при , стремящемся к минус бесконечности. Основным методом вычисления таких пределов является деление дроби на наибольшую степень числителя и знаменателя, получаем:

Обратите внимание, что при , стремящемся к минус бесконечности, будут стремиться к нулю.

Получается, что чем дальше уходит влево, к минус бесконечности, тем ближе значение функции к единице, а значит, графика функции — к прямой . Такая прямая называется горизонтальной асимптотой. У графика может быть не больше двух горизонтальных асимптот — на минус бесконечности и на плюс бесконечности (левая и правая асимптоты).

Аналогично найдём правую асимптоту.

Правая часть графика также приближается к прямой .

Получаем, что  является двусторонней асимптотой — и левой, и правой (см. рис. 24).

Понятие пределов помогло нам понять поведение графика функции, который мы не смогли бы построить, используя известные нам ранее методы. Рассмотрим ещё один тип асимптот — наклонные.

Определение: если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой, то такая прямая называется наклонной асимптотой.

Данное определение является общим определением асимптоты — прямой, к которой график функции неограниченно приближается.  Или, говоря на языке пределов, разница между значением функции и значением асимптоты стремится к нулю. Уравнение такой асимптоты, если оно существует, тоже находится с помощью пределов.

Пусть асимптота задана уравнением , постараемся найти коэффициенты и . Отметим, что при стремлении к бесконечности и функция, и асимптота тоже стремятся к бесконечности (см. рис. 25), в противном случае мы бы имели горизонтальную асимптоту. При этом чем дальше в бесконечность «уходит» , тем меньше друг от друга отличаются их значения. Тогда их отношение стремится к 1, а разность стремится к 0.

Рассмотрим предел отношения  и :

Поделим числитель и знаменатель на :

Получаем, что слагаемое в знаменателе  стремится к 0 при , таким образом, предел принимает вид:

Умножим обе части равенства на , получаем:

Так как — константа, то можем внести её внутрь предела:

Таким образом, мы получили формулу для получения коэффициента :

Теперь распишем тот факт, что разность функции и асимптоты стремится к 0:

Таким образом, мы получили формулу для получения коэффициента :

Пример:

Найдите асимптоты к графику функции .

Вертикальная асимптота здесь одна: . Найдём пределы слева и справа здесь, чтобы понять поведение функции около вертикальной асимптоты.

Теперь мы можем изобразить поведение графика вблизи вертикальной асимптоты (см. рис. 26).

Проверим, нет ли у графика горизонтальных асимптот. Для этого найдём предел функции на бесконечности:

Можем сделать вывод, что горизонтальной асимптоты нет, так как на бесконечности функция уходит в бесконечность.

Проверим, существуют ли наклонные асимптоты, воспользуемся ранее полученными формулами для нахождения коэффициентов и наклонной асимптоты. Начнём с левой асимптоты:

Итак, левая наклонная асимптота имеет вид . Аналогично попробуйте показать самостоятельно, что данная прямая является и правой наклонной асимптотой. Тогда мы можем с хорошей точностью предположить, как ведёт себя график нашей функции (см. рис. 27).

Надо отметить, что отдельно наличие горизонтальных асимптот можно не проверять, можно сразу искать наклонные асимптоты, и если у графика на самом деле есть горизонтальные асимптоты, то вы получите, что коэффициент  и уравнение асимптоты имеет вид , а это и есть горизонтальная асимптота.

Иными словами, горизонтальная асимптота — это частный случай наклонной асимптоты, её уравнение получается по тем же формулам.

Рассмотрим на примере асимптот, как сильно отличаются друг от друга парабола и гипербола.

Пример:

Рассмотрим функции  и , причём у гиперболы возьмём только правую верхнюю ветвь (см. рис. 28).

Конечно, основное различие графиков данных функций не в том, что одна стоит прямо, а другая «завалена» набок. Если гиперболу тоже поставить прямо, то на параболу она похожа не станет (см. рис. 29).

У гиперболы есть две асимптоты, то есть две прямые, к которым «прилипает» график функции на бесконечности (см. рис. 29). У параболы же никаких асимптот не существует. Вертикальных нет, так как вертикальные асимптоты подразумевают разрыв функции или наличие края области определения. Но наша парабола определена на всей области действительной оси и не имеет разрывов. Если же воспользоваться формулами для поиска коэффициентов наклонных асимптот, то получим, что , а так как коэффициент не может быть равен бесконечности, значит, наклонных и горизонтальных асимптот не существует.

Список литературы

1. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для 10 кл., 1 часть / А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов. — ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2020.

2. Алгебра и начала математического анализа: 10–11 классы, базовый и углублённый уровни / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др. — АО Издательство «Просвещение», 2018–2020.

Дополнительные рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Исследуйте функцию  на непрерывность. Определите характер разрывов функции, если они существуют.

2. Исследуйте функцию  на непрерывность и постройте график функции.

3. Найдите асимптоты графика функции .