09. Преобразование выражений, содержащих радикалы; задачи

Повторение теоретических фактов

Повторим некоторые теоретические положения.

Определение: 

Корнем й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.

Приведем математическую запись определения:

Например: , т. к. , т. к. ,

Напомним, что арифметическим корнем называется неотрицательный корень. В нашем случае – отрицательное число, но – положительное, таким образом, – это арифметический корень.

Вспомним основные свойства арифметических корней:

 при

 при

, при  (теорема 1);

, при  (теорема 2);

, при  (теорема 3);

, при  (теорема 4);

при  (теорема 5);

Упрощение выражений, примеры

При решении задач мы пользуемся определением и свойствами корня й степени.

Пример 1 – упростить и выполнить действия:

В результате преобразования получили выражение:

Мы видим основной принцип решения подобных задач: если под корнем стоит составное число, нужно разложить его на простые множители, и тогда, возможно, будет легко заметить решение задачи.

Пример 2:

Разложим составное число 486 на простые множители:

В результате преобразований получаем:

Пример 3 – выполнить умножение при

Очевидно, что для решения данного задания необходимо применить формулу сокращенного умножения, а именно: – формула разности квадратов.

В нашем случае , получаем:

Пример 4 – выполнить умножение:

В данном случае нужно заметить другую формулу сокращенного умножения:

 – сумма кубов;

В нашем случае , получаем:

Комментарий: поскольку в заданном примере переменные х и у стояли под квадратным корнем, то они неотрицательны, значит, имеем право снять модуль.

Сокращение дробей, примеры

Одной из типовых задач является задача на сокращение дробей.

Пример 5 – сократить дробь:

Отметим некоторые ограничения. Для того чтобы существовали заданные корни, необходимо выполнение условий: . Для того чтобы существовала дробь: .

Преобразуем числитель дроби:

Таким образом, заданную дробь можно записать в следующем виде:

Поскольку мы заранее оговорили, что знаменатель не равен нулю, т. е. , имеем право сократить дробь:

Пример 6:

В данном случае также нужно воспользоваться формулой сокращенного умножения.

Таким образом, заданную дробь можно записать в следующем виде:

Чтобы иметь право сократить дробь, оговорим, что знаменатель ее не должен быть равен нулю, для этого х и у не должны одновременно быть равны нулю, тогда получаем ответ:

Преобразование сложных корней к простому виду

Пример 7 – преобразовать выражение к виду :

Внесем двойку под кубический корень:

Согласно теореме о взятии корня из корня, перемножим показатели корней:

Согласно теореме о корне из произведения, получим:

Пример 8:

Постепенно вносим множители под знак внутреннего корня и перемножаем показатели корней:

Пример 9 – упростить выражение:

Представим все составные числа в виде простых чисел:

В результате преобразований получили выражение:

Решение более сложных примеров

Пример 10 – вычислить:

В знаменателе стоит выражение, распишем его по формуле квадрата разности:

После преобразования получаем дробь:

Вынесем в знаменателе минус за знак дроби:

Итак, мы вспомнили основные теоретические факты о корнях n-й степени и научились решать некоторые типовые задачи с радикалами. Мы решили много различных примеров, на следующем уроке мы продолжим изучение данной темы.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Проверьте себя

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, №408,409,415;

2. Выполнить действия:

   ;

   ;