01. Понятие корня n-ой степени из действительного числа
14 мин
02. Корни n-й степени из действительного числа. Задачи
17 мин
03. Функции y = ⁿ√x, их свойства и графики
15 мин
04. Функции y=(√x)ⁿ, их свойства и графики. Задачи
20 мин
05. Свойства корня n-ой степени
17 мин
06. Свойства корня n-ой степени. Продолжение
18 мин
07. Свойства корня n-й степени. Задачи
20 мин
08. Преобразование выражений, содержащих радикалы
18 мин
09. Преобразование выражений, содержащих радикалы; задачи
18 мин
10. Задачи и уравнения с радикалами
19 мин
11. Обобщение понятия о показателе степени - начальные сведения
16 мин
12. Степень с рациональным показателем. Простейшие задачи
16 мин
13. Задачи со степенями и радикалами
18 мин
14. Степенные функции, их свойства и графики: начальные сведения
17 мин
15. Степенные функции, их свойства и графики. Степенные функции с рациональным показателем
20 мин
16. Задачи на степенные функции с рациональным показателем
22 мин
08. Преобразование выражений, содержащих радикалы
Видео доступно по абонементу
Повторение определений и свойств
Напомним основные определения.
Определение:
Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.
Приведем математическую запись определения:
Например: , т. к. , т. к.
Итак, в рассмотренном случае под корнем стоит строго неотрицательное число, но существует также корень из отрицательного числа – это корень нечетной степени, он существует для любых чисел.
Например: , т.к.
Напомним свойства корней n-й степени, которыми мы будем пользоваться при всех преобразованиях:
при
, при (теорема 1);
, при (теорема 2);
, при (теорема 3);
, при (теорема 4);
при (теорема 5).
Все дальнейшие преобразования и вычисления базируются на определении и свойствах корня n-й степени.
Пример 1 – вычислить:
Разложим подкоренное выражение на более удобные множители и после этого извлечем корень:
Пример 2 – упростить выражение:
Пример 3 – упростить выражение:
Типовые ошибки и важные соотношения
Чтобы избежать распространенных типовых ошибок, обратим внимание на некоторые моменты.
Верно ли, что:
при
Неверно, т. к., например, при получаем неверное числовое равенство .
при
Неверно, т. к., например, при получаем неверное числовое равенство .
В данном случае верна формула:
Приведенная формула справедлива для любого четного показателя степени.
Для нечетного показателя степени имеем следующую формулу:
Приведем еще одну важную формулу:
Вынесение множителя из под знака корня, примеры
Перейдем к рассмотрению типовых задач. Первый тип задач – вынесение множителя из-под знака корня.
Пример 4:
Пример 5:
Пример 6:
Пример 7:
Комментарий: поскольку а стоит под квадратным корнем в нечетной степени, то данная переменная неотрицательна, имеем право снять с нее модуль.
Пример 8:
Пример 9:
Внесение множителя под знак корня, примеры
Следующий тип задач – внесение множителя под знак корня.
Пример 10:
Пример 11:
Пример 12:
Пример 13:
Пример 14:
Решение элементарных уравнений
Перейдем к решению уравнений.
Пример 15:
Мы знаем, что:
Согласно условию
Имеем:
, отсюда
Ответ:
Пример 16:
Мы знаем, что:
Согласно условию
Имеем:
, отсюда
Ответ:
Пример 17:
Очевидно, что в данном случае t может принимать любые значения.
Ответ:
Пример 18:
Ответ:
Итак, мы рассмотрели элементарные преобразования выражений, содержащих радикалы. На следующем уроке мы продолжим изучение данной темы.
Список литературы
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Проверьте себя
Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын), 1990, № 413, 414;
Упростите выражение:
а) ; б) ; в) ; г)
Упростите выражение:
а) ; б) ; в) ; г)