03. Применение производной при построении графиков и решении задач. Базовый уровень

Построение графиков функций

Ежедневно мы обмениваемся огромным количеством информации. И если для повседневного общения достаточно устной речи, то в профессиональной сфере, будь то учёба или работа, — на первый план выходит иллюстрация этой информации. Подумайте, как вам проще воспринимать уроки: когда вы только слушаете речь учителя, или когда она ещё сопровождается картинками, схемами, таблицами? Ответ очевиден.

Грамотно выстроенная графическая информация всегда будет легче и понятнее восприниматься, чем любая, даже самая выверенная текстовая. Это стоит учитывать при подготовке различных презентаций: и ученикам для учебных проектов, и учёным для конференций, и менеджерам для отчётов о выполненной работе.

На уроках математики мы уже говорили о графическом представлении числовых данных (урок «Способы представления информации»). Это касалось набора статистических данных. Если же мы хотим не просто работать со статистическими данными, а построить математическую модель ситуации, то тут нам понадобятся числовые функции и их графики.

Идея визуализации числовой функции с помощью её графика проста. Для функции одной переменной мы одному значению аргумента ставим в соответствие одно значение функции. Чтобы это изобразить, ставим точку на плоскости с соответствующими координатами. Отметив эти точки для каждого аргумента, мы получим график функции. Правда, функция почти всегда имеет бесконечное множество аргументов, и на практике невозможно отметить всё бесконечное множество точек. Поэтому обычно отмечают несколько точек, а затем соединяют их линией.

И тут возникает главный вопрос: какие именно точки нужно брать и сколько их должно быть? Для построения графиков с помощью компьютерных программ выбирается большое множество точек: сотни, тысячи, даже миллионы. Их количество определяется точностью, с которой необходимо построить график. Но вручную мы не сможем быстро вычислить такое множество значений, ещё и отметить их в системе координат. Поэтому задача состоит в том, чтобы обойтись минимальным количеством точек, при этом построив корректный график. Именно с этой задачей мы и будем сегодня разбираться в уроке.

Для некоторых функций вы уже знаете, как выбрать нужные точки и правильно соединить их. Так, для линейной функции достаточно выбрать две любые точки и провести через них прямую — это и будет график функции. Для многих базовых функций ранее уже был разобран алгоритм построения их графиков по точкам. Это и квадратичная функция, и функция квадратного корня, обратной пропорциональности, все тригонометрические и обратные тригонометрические функции, степенные, показательные, логарифмические.

Для функций, которые можно получить из базовых путём различных преобразований, вы также уже умеете строить графики. Достаточно взять график базовой функции и выполнить над ним все требующиеся преобразования: сдвиг, симметрия, растяжение или сжатие. При этом стоит отметить ключевые точки базовых функций, по которым строился график, и следить именно за ними в ходе преобразований. Так вы точно не ошибётесь с графиком.

На этом уроке мы разберём, как построить графики тех функций, которые не входят в описанные ранее. К примеру, к таким относится функция . Мы не сможем просто получить её из функции , поскольку нет преобразования с вычитанием аргумента икс, есть только с вычитанием константы.

Разберём общий алгоритм поиска нужных точек для построения графика функции .

Шаг 1. Ищем область определения. Чтобы понимать, какие точки выбирать, нужно знать, из чего выбирать. Если область определения — все действительные числа (), то всё в порядке. Если же есть недопустимые значения аргумента, то это нужно учесть на графике. Это будет или выколотая точка, или вертикальная асимптота, как у графика . А если это целый недопустимый интервал, то в этой области вообще не будет графика. Для построения нужно будет выбирать точки только из допустимых значений.

К примеру, функция  имеет область определения . Значит, и для построения её графика мы будем выбирать только точки, где  больше .

Шаг 2. Проверяем функцию на чётность. Если функция чётная или нечётная, то её график будет иметь симметрию. При этом достаточно будет построить график только для неотрицательных значений функции. Затем, если функция чётная, — отразить его относительно оси ординат, если нечётная, — относительно начала координат.

Теперь переходим непосредственно к точкам, которые нужно отметить в системе координат.

Шаг 3. Находим значение функции в нуле, а также нули функции. Это будут точки пересечения с осями координат. Находим значение в нуле  — отмечаем точку пересечения с осью ординат. Решаем уравнение  — находим точки  пересечения с осью абсцисс.

Шаг 4. Находим точки экстремума функции. Как это делать, вы знаете из предыдущего урока. Находим значения функции в точках экстремума и отмечаем соответствующие точки в системе координат. Кроме самих экстремумов, стоит изобразить график и в ближайших точках. Ещё говорят — в окрестности точки. Для локального минимума это будет выглядеть как дуга, выпуклая вниз; для локального максимума — выпуклая вверх.

Шаг 5. Соединяем отмеченные точки. Полученные линии должны соответствовать интервалам возрастания и убывания функции, которые вы нашли в процессе нахождения экстремумов.

Если точек оказалось мало и не очевидно, как их соединить, то можно найти значения функции ещё для некоторых аргументов и поставить соответствующие точки.

При этом если область определения функции — все действительные числа, то продолжаем графики в бесконечность. Если же есть ограничения — ищем значения функции на краях области определения и добавляем соответствующие точки на график.

Рассмотрим указанный алгоритм на конкретном примере.

Задание 1. Построить график функции .

Шаг 1. Область определения — все действительные числа. .

Шаг 2. Проверяем чётность. У функции область определения симметрична относительно , поэтому можем перейти к подстановке в функцию  вместо икса. Получаем

Выносим за скобки минус.

В скобках получили исходную функцию. То есть . Значит, функция нечётная.

Раз функция нечётная, то достаточно будет построить график только справа от оси ординат. А затем отразить его симметрично относительно начала координат.

Шаг 3. Значение функции в нуле: . Отмечаем точку  на графике.

Ищем нули функции.

Корни уравнения ;  и . Отмечаем соответствующие точки на графике:  уже отмечена, далее  и .

Шаг 4. Находим точки экстремума функции. Можете самостоятельно выполнить это действие и затем проверить себя.

Чтобы найти экстремумы, сначала ищем производную функции.

Приравниваем производную к нулю и ищем стационарные точки.

Это стационарные точки. Расставляем их на оси, определяем знак производной на каждом из полученных интервалов. Производная — это квадратичная функция с положительным коэффициентом при . Значит, знаки на интервалах будут плюс, минус, плюс. Обратите внимание! Мы говорим именно про производную, и изобразили схематический график именно производной, а не самой функции. Именно поэтому нужно это делать отдельно на оси, а не на графике, где будет изображена сама функция.

Итак, положительный знак производной означает возрастание функции, отрицательный — убывание. Получаем, что  — точка локального максимума,  — точка локального минимума.

Находим значения функции в точках экстремума. Подставляем  в функцию вместо икс.

Аналогично подставляем .

Получили точки  и . Чтобы отметить их на графике, найдём приближённые значения: . Тогда . Отмечаем точки на графике. Также рисуем дуги в окрестности этих точек, чтобы затем было проще соединять.

Шаг 5. Осталось соединить точки. Функция нечётная, поэтому достаточно соединить точки для неотрицательных аргументов. Область определения — все действительные числа, поэтому продолжаем график на бесконечность, причём функция возрастает. Это мы знаем по интервалам монотонности. Теперь отражаем график симметрично началу координат. Можно убедиться, что при этом он пройдёт через отмеченные ранее точки.

Мы получили эскиз графика. Если необходимо построить его точнее, можно найти значения функции для целочисленных аргументов и отметить соответствующие точки. Вычисляя значения функции для целых значений икса от  до , получим следующую таблицу. Отметив эти точки, можно будет точнее провести нужные линии.

Следуя данному алгоритму, можно построить графики для существенно большего количества различных функций, чем это мы могли сделать только с помощью преобразований графиков. С построением графика ещё одной функции вы можете ознакомиться в ответвлении.

Дополнительное задание на построение графика

Дополнительное задание 1. Построить график функции .

Действуем по описанному ранее алгоритму.

Шаг 1. В функции присутствует квадратный корень. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, значит, ,.

Шаг 2. Проверяем чётность. Область определения не симметрична относительно , значит, сразу можем сказать, что функция общего вида.

Шаг 3. Значение в нуле: . Отмечаем точку  на графике ().

Ищем нули функции.

Вспоминаем алгоритм решения иррациональных уравнений. Переносим второе слагаемое в правую сторону.

При неотрицательных  можем возвести обе части в квадрат. При этом ОДЗ будет автоматически учтено.

Решая это квадратное уравнение, получаем корни  и . Второй корень не подходит, так как меньше нуля. Остаётся только одно значение . Отмечаем точку  на графике.

Шаг 4. Ищем экстремумы функции.

Приравниваем производную к нулю. Решаем полученное уравнение.

Перенесём вторую дробь в правую часть.

Числители дробей равны, значит, равны и знаменатели.

Разделим обе части уравнения на 2, возведём в квадрат.

Получим корень . Отмечаем точки на оси.

Определяем знак производной на полученных интервалах. При  под корнем будет число, меньшее . Сам корень также будет меньше , значит, знаменатель меньше . Первая дробь больше второй, значит, производная положительная.

При  уже можем подставить удобное значение. Например, при  получим .

Таким образом,  — точка локального максимума.

Найдём значение функции в это точке.

Отметим точку на графике и дугой укажем, что это локальный максимум.

Шаг 5. Осталось соединить точки. Вправо график уходит на бесконечность. А вот влево — нет, ведь есть ограничение на область значений. Чтобы корректно построить график, найдём ещё значение функции на краю области определения.

Отмечаем точку  и соединяем её с остальным графиком. Обратите внимание, слева от этой точки графика функции не будет, так как есть ограничения на область определения функции.

Решение экстремальных задач

Мы рассмотрели, как производная помогает при построении графиков функций. Правда, мы только на одном из этапов использовали понятие производной функции. Так может, можно было обойтись без него, и производная ничем не помогает при построении? Нет, в нашем случае этот этап необходим. Мы условились, что будем стараться выбрать минимальное количество точек, при этом построить как можно более точный график. А точки экстремума являются ключевыми. Изобразив их неправильно, мы получим некорректный график. Ведь в большинстве процессов нас как раз и интересуют те крайние, экстремальные значения параметров системы, при которых меняется её поведение. На графике это и будет выражено в локальных максимумах и минимумах функции.

Вторую часть нашего урока мы как раз и посвятим изучению этих экстремальных значений в различных задачах. Мы уже говорили, что часто при определённых заданных условиях нужно найти максимальные или минимальные значения некоторой величины. В экономических задачах это могут быть минимальные затраты ресурсов, или получение максимальной прибыли. В физике — это достижение минимальной потенциальной энергии или максимального КПД. В математике также можно придумать различные задачи на экстремальные значения. Их решением мы сейчас и займёмся.

Основная идея решения подобных задач — составить математическую модель, в которой искомую величину нужно выразить как функцию одной переменной от некоторой изменяющейся величины. Также важно указать ограничения на значения этой величины. В итоге мы получим задачу поиска минимального или максимального значения функции на заданном промежутке.

Далее мы сконцентрируемся именно на составлении математической модели. Затем вы можете останавливаться и пробовать самостоятельно решать задачу поиска экстремальных значений функции. Это вы уже умеете делать. Свериться можно будет в ответвлениях.

Задание 2. Среди всех пар положительных чисел, сумма которых равна , найдите такую пару, произведение чисел которых будет наибольшим.

Составляем математическую модель. Изменяющаяся величина в задаче — это значения чисел. Обозначим одно число как .

Поскольку сумма чисел в паре равна , то второе будет равно .

Произведение этих чисел будет равно .

Чтобы обозначения были привычными, обозначим произведение как .

Итак, мы получили функцию одной переменной: зависимость произведения чисел от величины одного из них.

Также нужно указать промежуток для возможных значений аргумента. Число должно быть положительным, то есть . Второе число также должно быть положительным: , значит, . Получаем промежуток от  до  не включительно. Итак, задача свелась к поиску точки максимума функции  на промежутке от  до .

Попробуйте решить задачу самостоятельно.

Нахождение максимума функции. Задание 2

Для начала ищем стационарные точки. Для этого нужно взять производную, но прежде раскроем скобки, чтобы проще было это сделать: . Производная . Приравниваем к нулю, получаем корень .

Находим значение функции в этой точке: . Также находим значения функции на краях промежутка: , . Хоть сами края промежутка и не входят в возможные значения аргумента, но в точках, близких к ним, будет близкое к  значение. Сравнивая значения видим, что максимум достигается в точке .

Поскольку функция — квадратичная, то этот пример можно было рассмотреть и без использования производной. Достаточно было вспомнить схематический вид графика и найти вершину параболы. Но вариант с производной — более универсальный, он подойдёт не только для квадратичной зависимости.

В итоге должны получить следующий ответ: точка максимума . Это мы нашли решение математической модели. Возвращаемся к условию задачи. Получается, что одно число будет равно двум, второе: — также двум. То есть искомая пара чисел:  и .

Мы разобрали простой пример для демонстрации идеи поиска экстремальных значений. Конечно, в такой формулировке задача не несёт никакого практического значения. Но она, в свою очередь, может быть математической моделью уже реальной ситуации. К примеру, есть верёвка длиной 8 метров. И с помощью неё нужно огородить прямоугольный участок максимальной площади. Периметр  полученного участка будет  метров, а значит, сумма его длины и ширины  метра. А произведение длины и ширины — это и есть площадь участка . Таким образом, эта задача свелась к решению предыдущей задачи про два числа. Ответом к ней была пара чисел  и , значит, в этой задаче искомый прямоугольник — это квадрат со стороной  метра.

Интересно, что если бы участок мог быть произвольной формы, то при заданном периметре максимальной площадью обладал бы круг. Это утверждение доказывается решением задачи, аналогичной нахождению экстремума (задача Дидоны). Но только с более сложной математической основой, которая выходит за рамки школьного курса.

А мы всё же вернёмся в рамки школьного курса и решим ещё одну задачу.

Задание 3. Из прямоугольного листа картона  на  нужно сделать прямоугольную коробку с открытым верхом. Для этого из углов вырезают квадратные части и загибают получившиеся края. Определите размеры квадратов, которые нужно вырезать, чтобы объём коробки был максимальным. Найдите этот объём.

Здесь переменная величина — это сторона квадрата. Обозначим её как . Изобразим полученную коробку.

Её высота будет равна , в основании будет прямоугольник со сторонами  и . Чтобы получить привычные обозначения для функции, обозначим объём коробки как . Объём равен произведению трёх измерений коробки: .

Посмотрим на ограничения аргумента. Поскольку  — это сторона квадрата, то это положительная величина: . При этом стороны полученного прямоугольника в основании также должны быть положительны. То есть  и . Значит, .

Получили задачу поиска максимума функции  на промежутке от  до  не включительно. Попробуйте решить её самостоятельно.

Нахождение максимума функции. Задание 3

Ищем стационарные точки. Но сначала раскроем скобки и упростим выражение.

Производная . Приравниваем к нулю.

Решая квадратное уравнение, получаем корни  и . Второй корень не входит в рассматриваемый нами промежуток. Остаётся точка .

Находим значение функции в этой точке: . Также находим значения функции на краях промежутка: ,. Как и в предыдущем примере, хоть сами края промежутка и не входят в возможные значения аргумента, но в точках, близких к ним, будет близкое к 0 значение. Сравнивая значения, видим, что максимум достигается в точке .

В итоге должны получить следующий ответ: точка максимума . То есть нужно вырезать квадрат со стороной . Также нужно найти объём полученной коробки. Он равен значению функции в этой точке, то есть . Максимальный объём полученной коробки равен .

Итак, главная цель при решении подобных задач — правильно составить математическую модель. Изменяющуюся величину обозначаем как . Через неё выражаем все остальные величины в задаче и в итоге — выражаем через  искомую величину, максимальное или минимальное значение которой нужно найти. Также не забываем указать область значений аргумента , при которых введённые величины имеют смысл.

А дальше решаем задачу поиска экстремальных значений функции на промежутке. Тут есть строгий алгоритм, поэтому с этой частью у вас не должно возникнуть проблем, если вы умеете считать производные и решать уравнения.

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин; под ред. А. Б. Жижченко. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2010. — 336 с.

Домашнее задание

1. Постройте эскиз графика функции.

2. Изучите промежутки знакопостоянства функции . Используйте полученные данные для построения её более точного графика.

3. Материальная точка движется с отметки  по координатной оси в течение 6 секунд, затем останавливается. Закон её движения описывается формулой . На какое наибольшее расстояние от нуля точка удалилась в положительном и в отрицательном направлениях?