01. Производная функции. Базовый уровень

Скорость изменения

Современная медицина находится на высоком уровне развития. Сейчас возможно определить не только болен человек или здоров, но и динамику течения его болезни: идёт он на поправку или же его состояние ухудшается. В этом заключается существенное отличие. Если знать состояние пациента, то можно лишь сказать, нуждается ли он в лечении или нет. А если знать, как изменяется его состояние, то можно сказать больше: правильно ли подобрано лечение, через какое время пациент выздоровеет; или наоборот: сколько осталось времени, пока состояние не стало критическим.

Это пример лишь из одной сферы. Но можно найти еще множество примеров в разных сферах, где кроме самого состояния важную роль играет изменение этого состояния.

• Чтобы сказать об успешности предприятия, важно знать не только его прибыль, но и её изменение (см. рис. 1). Предприятие может заработать 400 млн за месяц, но если за прошлый месяц оно заработало 200 млн, то вряд ли это можно назвать успехом.

• При оценке демографической ситуации говорят не о количестве населения, а об его изменении (см. рис. 1).

• В быту вы также можете встретить подобное. Люди, которые вас долго не видели, говорят: «Как же ты вырос!» Они отмечают изменение вашего роста, а не его значение.

Чтобы качественно описать изменение состояния, в русском языке есть достаточно слов: «больше» и «меньше», «выше» и «ниже», «лучше» и «хуже». А вот в количественном описании нам уже поможет математика. Можно сказать: «Я вырос на 5 см». Насколько это будет информативно? Если за лето – это одно. А если за последние 4 года, то это значит совсем другое. Чтобы учесть и изменение, и время говорят о скорости изменения. Это отношение изменения величины ко времени этого изменения.

То есть можно сказать: «Я вырос на 5 см за 4 года». Иначе говоря, скорость роста равна 5 см за 4 года = 1,25 см/год. Другой пример: учитель проверил 60 домашних заданий за 3 часа. То есть скорость проверки 60 ДЗ/3 часа = 20 ДЗ/час.

Давайте посмотрим на это под другим углом. У нас есть зависимости некоторых величин от времени: ваш рост в зависимости от возраста (см. рис. 2), количество проверенных ДЗ с течением времени (см. рис. 3), прибыль компании по годам (см. рис. 4) и т. д.

Эти зависимости – не что иное, как функции этих величин от времени (см. рис. 5).

Тогда изменение величины – это изменение значения функции . Время изменения – это изменение аргумента (см. рис. 6). Тогда скорость изменения величины равна:

Направление изменения (больше или меньше) можно учесть в изменении величины . Под этим обозначением мы будем понимать разность между конечным и начальным значением:

.

Если значение увеличилось, то . Соответственно, .

Если же значение уменьшилось, то . Тогда .

Получаем, что при увеличении величины скорость её изменения будет положительной . При уменьшении величины скорость будет отрицательной .

На самом деле, мы сейчас не вводим что-то существенно новое. Вы уже сталкивались с понятием скорости в курсе физики. Вспомним на примере одномерного движения. Мы можем рассматривать движение как зависимость одной координаты от времени . Тогда скорость движения вдоль этой оси – это изменение координаты за время:

Положительное значение скорости означает, что координата увеличивается. То есть тело движется вдоль оси. Отрицательная же скорость означала уменьшение координаты, т.е. движение противоположно оси.

Сравните: для : ; для : . Одна и та же запись, просто разные обозначения. Мы расширили понятие скорости из физики и применили его к функциям любых величин от времени.

Можно и дальше расширить это понятие. Конечно, обычно изменения происходят именно с течением времени. Но можно рассматривать и другие зависимости. Например, зависимость прибыли компании от количества проданной продукции (см. рис. 7). Тогда скорость изменения прибыли  укажет на увеличение или уменьшение прибыли с каждой единицей проданной продукции.

Таким образом, аргументом функции может быть не обязательно время. Это может быть любая другая величина. И в общем случае мы можем рассматривать скорость изменения любой функции :

Рассмотрим несколько примеров.

Человек в течение года отмечал свой вес:

Если смотреть на данные с января по январь, то за год скорость изменения его веса составила: . Знак «минус» указывает на уменьшение величины. Или за месяц: .

Это число показывает, что в среднем человек сбрасывал 1 кг за месяц. Но по данным мы видим, что это не всегда было так. В некоторые месяцы он сбрасывал даже 4 кг, в некоторые же набирал вес.

Другой пример (см. рис. 8). На графике задана зависимость температуры реки в конце лета от времени.

По графику видно, что в целом температура реки понизилась. С 3 августа по 3 сентября мы видим изменение температуры, а значит и скорость её изменения будет отрицательной. Но мы также видим участки, на которых температура повышалась. Так, с 22 по 25 августа скорость изменения температуры будет положительна.

Сделаем вывод. Понятие скорость изменения функции помогает качественно и количественно оценить изменение величины. Но, в зависимости от выбранного промежутка аргументов, её значение может сильно отличаться. Поэтому обычно рассматривают два крайних случая, с которыми вы уже знакомы из курса физики: среднюю скорость и мгновенную скорость.

В первом случае рассматривается вся область аргументов за данный период. Соответствующую скорость называют средней скоростью. Так, в первом примере мы взяли скорость за весь промежуток – 1 год. То есть = – 1 кг/мес. – это и есть средняя скорость изменения веса.

Во втором примере за весь промежуток с 31 июля по 10 сентября (40 дней) средняя скорость изменения температуры составила: . Можно посчитать и среднюю скорость за август (30 дней). Она составит: .

Средняя скорость описывает изменение в целом. И чтобы на результат не влияли незначительные колебания значений, берут достаточно большой промежуток времени (рис. 9 и 10). В экономике с этим связано отдельное понятие – тренд. Оно указывает на направление изменения: вверх или вниз, без учета мелких колебаний. В случае с весом и в случае с температурой воды мы имеем нисходящий тренд (см. рис. 10), ведь в целом значения уменьшаются. Если бы они увеличивались, это был бы восходящий тренд (см. рис. 9).

Второй крайний случай – это мгновенная скорость изменения функции. Она рассматривается для каждого бесконечно малого промежутка аргументов. У неё есть своё, отдельное название: производная функции. О том, что означает это понятие и как его строго определить, мы и поговорим дальше.

Понятие производной функции

Каждый из вас может приблизительно представить, что означает мгновенная скорость. Вы едете на машине, спидометр показывает некоторое число – вот это и есть мгновенная скорость. Как вычисляет её спидометр? Берется перемещение за небольшой промежуток времени и делится на это время:

Чем меньше этот промежуток, тем точнее будет измерение. Ведь в следующий промежуток времени скорость может измениться. В идеале нужно взять бесконечно малый промежуток.

В реальной жизни мы этого не можем сделать: берется очень маленький, но все же конечный промежуток времени. Но с помощью математики мы можем создать модель, в которой этот промежуток будет бесконечно малым.

Строго это записывается так:

Ученики профильного уровня еще познакомятся с понятием предела. Ученикам базового уровня это можно воспринимать так: мы считаем скорость для очень маленького промежутка времени. С одной стороны, это все еще промежуток времени, то есть у него есть начало и конец. С другой стороны, этот промежуток настолько мал, что мы его можем считать моментом времени.

Это определение мгновенной скорости движения. Ранее мы обобщили понятие скорости изменения для любых функций:

Поэтому можем записать, что мгновенная скорость изменения функции:

У этого понятия есть своё название – производная функции. И есть своё обозначение: .

Таким образом, определение производной функции выглядит так:

О других обозначениях производной вы можете узнать в ответвлении. Оно обязательно для просмотра ученикам профильного уровня, для всех остальных по желанию.

Другие обозначения производной

Мы привели лишь самое простое и распространенное обозначение производной. Те, кто свяжут свою жизнь с технической специальностью, могут встретить в дальнейшем и другие обозначения производной.

Так, иногда производную обозначают как  (читается по ), тем самым указывая, что это отношение бесконечно малого изменения функции к бесконечно малому изменению аргумента.

Если задан аналитический вид функции, например , то производную можно обозначить вот так: .

Это все обозначения для простейших случаев, когда функция зависит только от одного аргумента. Но понятие производной можно ввести и для функции многих аргументов. Идея останется той же: мы смотрим изменение значения функции при изменении определенного аргумента. Когда аргументов несколько, нужно указать, по какому именно аргументу мы смотрим.

Например, есть функция от двух аргументов: . Если мы смотрим изменение функции при изменении аргумента , то это записывается так: . Читается «игрек штрих по а» и обозначает производную функции по аргументу :

Аналогично для аргумента :

В физических процессах часто встречается производная от величины по времени. Поскольку её часто используют, для неё придумали своё обозначение:. Это то же самое, что обозначение. Встретив в дальнейшем все эти обозначения, вы должны знать, что всё это – обозначения производной. 

Таким образом, производная описывает скорость изменения функции на бесконечно малом промежутке аргументов. Ещё говорят «скорость изменения функции в точке». Это может звучать противоречиво: с одной стороны, есть изменение, с другой стороны – точка всего одна. Но именно понятие предела позволяет построить нам такую математическую модель.

Мы ввели понятие производной функции в точке. Для каждого аргумента функции мы можем вычислить значение производной. Получаем, что каждому аргументу мы можем поставить в соответствие значение производной. Значит, производная функции – это тоже функция.

Таким образом, если у нас есть некоторая функция, мы можем найти другую функцию, которая будет её производной. Разберем на примере функции .

По определению производная .

Рассмотрим промежуток аргумента шириной . Например, от до  (см. рис. 11).

Тогда

Тогда при бесконечно малом значении мы получим . Мы смотрели промежуток от до , то есть можно считать, что это производная в точке :

Тогда в любой точке производная будет равна .

Итак, производная функции – это функция . Функция описывает скорость изменения функции . Давайте посмотрим:

• При производная меньше нуля. Поскольку производная – это скорость изменения функции, то её отрицательное значение говорит об уменьшении значения функции. И действительно, функция убывает при .

• При функция как бы «останавливается и разворачивается», не меняет своего значения. Это отражено в том, что производная функции равна нулю.

• При функция возрастает; соответственно, производная положительна. Причем чем больше х, тем больше производная. То есть скорость роста становится все больше и больше. По графику самой функции это тоже видно: чем больше x, тем «круче» она уходит вверх.

Мы проделали путь от понятия «скорости изменения» до понятия «производной функции». Зачем нам это нужно было? Как мы уже раньше отмечали, функция описывает соотношение между объектами. Эти соотношения окружают нас повсюду, поэтому функция – отличный инструмент для изучения окружающих нас явлений. А производная функции – это инструмент для изучения самой функции. В последующих уроках мы увидим, как производная позволяет находить свойства функций, строить их графики. Но прежде, нужно научиться находить производные различных функций.

Производные элементарных функций

По определению производной мы уже нашли, что производной функции является функция . Для других функций мы могли бы точно так же искать по определению их производные. Но за нас это уже сделали раньше, поэтому мы можем воспользоваться уже готовыми результатами – так называемыми «таблицами производных».

Конечно, функций бесконечно много. Но в курсе алгебры мы уже видели, что среди них можно выделить элементарные, базовые функции. А большинство остальных можно получить из этих базовых с помощью различных преобразований. Таким образом, для начала нам достаточно узнать производные для базовых функций.

Но прежде уделим внимание терминологии. «Посчитать производную функции», «взять производную», «продифференцировать функцию» − всё это синонимы нахождения производной функции. 

Происхождение термина «дифференцировать»

Термин дифференцировать происходит от латинского слова differentia – разность, различие. Чтобы понять, где же есть эти «разности» в производной, посмотрим на её определение (см. рис. 1):

В числителе и знаменателе как раз и стоят эти самые разности: между одним и другим значением аргумента, между одним и другим значением функции.

В целом раздел математики, в котором изучается производная, называется «дифференциальным исчислением». И множество терминов в этом разделе имеют тот же корень: «дифференцировать функцию», «правила дифференцирования», «дифференциал» – все это так или иначе связано с «разностями».

Кроме математики, с подобными словами вы можете столкнуться и в других областях знаний. Например, в электротехнике есть понятие дифференциальной защиты. Принцип её действия основан на вычислении разности сил токов.

В других случаях схожие термины связаны с другим значением слова – «различие». Так, в медицине есть понятие дифференциальной диагностики. Суть её состоит в том, что для болезней со сходными симптомами находятся различия в симптомах. И на основе наличия или отсутствия этих симптомов, которые различны для разных болезней, ставится диагноз.

Также есть устройство под названием дифференциал. Он, в частности, является частью трансмиссии автомобилей. Его назначение заключается в том, чтобы объединять независимые друг от друга различные мощности для передачи их одной части механизма. Или, наоборот, для распределения мощности на несколько независимых различных частей механизма.

Если вы встречаете эти выражения, вы должны знать, что делать.

Теперь наконец посмотрим на таблицу производных (рис. 12).

Эту таблицу желательно запомнить, ведь выводить эти результаты из определения производной достаточно долго; а в некоторых случаях доказательство будет даже выходить за рамки школьной программы. Конечно, если вы её забыли, вы всегда можете найти подобную таблицу в справочных материалах или в интернете.

Остановимся подробнее на некоторых строчках таблицы.

1. Производная от константы равна 0. Действительно, если функция константа, т.е. не меняется, то скорость её изменения всегда будет равна нулю.

2. Производная от функции равна 1. Поскольку и равны, то они и изменяться будут одинаково: . Значит, отношение  всегда равно 1.

3. Функции из строк 3, 5 и 6 являются частным случаем строки 4. Так . Тогда производная:

.

Аналогично: . .

Но эти функции достаточно часто встречаются, поэтому лучше запомнить для них готовый результат. В остальных же функциях с дробями и корнями нужно будет выполнить аналогичные действия:

• с помощью свойств степеней привести функцию к виду ;

• взять производную, пользуясь таблицей;

• вернуться к обозначениям дробей и корней, используя свойства степени.

Потренируемся на примере:

Задание 1.

Найти производную функции .

Представляем в виде степени. . Тогда .

Ищем по таблице производную:

Перепишем в виде корней и дробей:

Получаем ответ: .

Почему можно переходить от корней к степеням с рациональным показателем

Вы могли обратить внимание, что при взятии производной мы сделали некоторые нетождественные преобразования. Так,  определён для любых ненулевых значений , а вот  – только для положительных значений. Значит ли это, что полученное выражение для производной справедливо только для положительных ? Нет, оно верно и для отрицательных, и сейчас мы это докажем.

Итак, если функция содержит корень четной степени (), то тут нет никаких проблем. ОДЗ этого выражения – неотрицательные значения , поэтому никаких проблем при переходе к степени с рациональным показателем не будет. Там тоже ОДЗ – все неотрицательные .

Если же функция содержит только корни нечётной степени, то переходить к степени с рациональным показателем можно только для . Для них вычисленная производная будет верной. А что же с ? Посмотрим. Для нечетной степени:

.

, значит, можем перейти к степени:

.

Вычисляем производную.

«−» оставляем, производная от  равна .

И ещё умножаем на , т. к. аргумент , а не .

Почему нужно оставлять «–» и умножать на −1 вы узнаете далее в уроке.

В итоге получаем:

От степени переходим к корням:

В итоге мы получили такой же ответ, как получили бы и для неотрицательных . Таким образом, подобный метод подходит для всех значений аргумента. И при поиске производной от функции, содержащей корни, не нужно задумываться об ОДЗ. Главное – перевести ответ в выражение с корнями, чтобы учитывать все возможные аргументы исходной функции.

Возвращаемся к таблице производных.

Глядя на 11 строчку видим, что производной от функции является эта же функция . Именно этим и отличается показательная функция, в основании которой стоит число Эйлера. По этой же причине именно функция с основанием , а не каким-либо другим основанием, применяется для описания различных процессов, описывающихся показательной функцией.

Чем удобна функция

Множество процессов можно описать показательной функцией. Об этом шла речь в соответствующем уроке Степенная, показательная и логарифмическая функции. Базовый уровень. При этом основание степени можно выбрать различным. Ведь с помощью основного логарифмического тождества можно перейти от одного основания к любому другому. Например, есть процесс радиоактивного распада, который можно описать функцией: , где и – некоторые константы. Используя основное логарифмическое тождество, можем перейти к основанию :

Почему же удобно переходить именно к основанию ? Ответ прост: производная от функции имеет наиболее простой вид. В функциях с другим основанием a выражение еще нужно умножить на . А поскольку уравнения, описывающие подобные процессы, всегда содержат производную, то удобнее её искать в более простом виде.

Аналогично выделяется и логарифм с основанием , который обозначается как – натуральный логарифм. Производная от функции выглядит проще, чем от логарифмов с другим основанием.

Правила дифференцирования

Мы увидели таблицу производных для базовых функций. Теперь посмотрим, как находить производные в тех случаях, когда функция состоит из нескольких базовых. Мы приведем указанные ниже правила без доказательства. Но вы должны знать, что их можно доказать с помощью определения производной.

1) Начнем со сложения и вычитания. Тут всё просто: производная суммы или разности функций равна сумме или разности производных:

;

.

Аналогично:

;

.

То есть, если у вас в выражении стоит сложение и вычитание функций, просто отдельно берите производные от каждой из них; затем складывайте или вычитайте результаты.

2) Умножение функции на число. Если задана функция вида , где – число, то производная:

То есть множитель оставляете; берете производную от функции.

Задание 2.

Найти производную функции .

Здесь у нас 4 слагаемых. Можем найти отдельно производные от функций , , и 1, а затем сложить и вычесть их.

По таблице ищем производную от . «5» записываем как множитель, степень уменьшаем на 1. Получаем .

Далее слагаемое вида: число, умноженное на функцию. Число оставляем; производная от  равна . Получим .

Далее снова: число на функцию, 2 оставляем, производная от равна 1.

В конце стоит +1. Это константа, число. Производная равна 0. Упростив выражение, получаем:

.

3) Умножение функций. Если задана функция вида , то производная такой функции:

.

Берем производную от первой функции, умножаем на вторую. Затем прибавляем произведение первой функции к производной от второй.

4) Деление функций. Если задана функция вида , то её производная:

В знаменатель записываем квадрат знаменателя. В числителе пишем конструкцию, похожую на формулу для производной произведения, но только со знаком минус.

Задание 3.

Вычислить производные функций:

а) .

Видим произведение функций и . То есть наша функция вида . В формуле производной произведения есть производные и . Для начала найдем их: . Множитель оставляем, производная от равна 1. , .

По таблице . Подставляем в формулу:

.

б) .

Здесь функция вида . Для нахождения производной, опять же, сначала находим и .

, по таблице .

, по таблице .

Подставляем все функции в формулу:

Это и есть ответ. Но выражение можно ещё упростить. Подробнее об этом – в ответвлении.

Упрощение выражения

Избавимся от дроби в числителе, умножив числитель и знаменатель на . Получим в числителе:

Расписав тангенс как отношение синуса к косинусу, выражение вы можете еще упростить:

Тогда числитель равен .

В знаменателе получим:

.

Получим:

Изначально можно было бы пойти другим путем. Сначала упростить функцию, затем брать производную. Так: . Значит . Для поиска производной теперь можно применить формулу производной произведения, которая немного проще. После упрощения, вы получите тот же ответ. Можете самостоятельно найти производную этим методом и сравнить ответы.

5) В случае если функция имеет вид , её производная:

.

То есть мы ищем по таблице производных нужную функцию. Записываем от неё производную, но только вместо пишем . Кроме того, полученный результат еще умножаем на .

Задание 4.

Найти производную функции .

В таблице есть производная функции . Здесь же у нас . Аргумент функции имеет вид : , . Можем применить формулу:

.

ищем по таблице, как для обычного косинуса, – это минус синус. Но аргумент берем не , а . То есть . Получим . Тогда:

.

Последнее правило является частным случаем нахождения производной сложной функции. О правиле нахождения производной сложной функции вы можете узнать из ответвления. Оно обязательно для учеников профильного уровня. Для всех остальных по желанию.

Производная сложной функции

Сложными называют такие функции, аргументом которых также является функция. Например, . Это функция синуса, но её аргумент не просто , а . Или можно сказать, аргумент – функция . Чтобы найти производную сложной функции, разобьем задачу на две более простые. Обозначив внутреннюю функцию , мы получили две функции: и . Это уже базовые функции, их производные мы можем найти:

.

Посмотрим, как эти производные связаны с производной сложной функции:

.

Тогда их произведение:

.

А это не что иное, как искомая производная сложной функции:

.

Конечно же, все это в пределе, когда аргумент стремится к нулю.

Таким образом, нам достаточно перемножить найденные производные:

.

Итак, для нахождения производной сложной функции нужно:

1. Обозначить внутреннюю функцию новой переменной;

2. Вычислить производные двух полученных функций;

3. Перемножить результаты.

Формула производной для функций вида – это частный случай применения этого алгоритма. Обозначив , мы получим производные: и. Умножив их, получим: .

Список рекомендованной литературы

1. Пратусевич М. Я., Столбов К. М., Головин А. Н. Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, АО «Издательство «Просвещение», 2010 год.

2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. 1 часть. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.

3. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И. Алгебра и начала математического анализа. АО «Издательство «Просвещение», 2012 год.

Рекомендованное домашнее задание

1. Вычислить значение производной функции  в точке .

2. Найти производную функции .

3. Найти производную функции  .

4. Найти производную функции .

5. Найти производную функции .