05. Производная и интеграл. Практика. Профильный уровень

Связь графика функции и графика производной

Чтобы успешно применять понятие производной на практике, нужно хорошо представлять себе связь между функцией и её производной. В аналитическом виде вы уже знаете, как найти производную по заданной функции и как восстановить функцию по заданной производной, то есть найти первообразную.

Но функция может быть задана не только аналитически, но и графически. И нужно уметь, глядя на график функции, представлять, как устроена производная и как выглядит график производной. То же самое в обратную сторону: глядя на график производной, уметь описать и изобразить график исходной функции.

Задача 1. Глядя на график функции, изобразите схематично график производной.

Под системой координат с графиком функции расположим систему координат для графика производной. У графика функции выберем наиболее интересные точки. Это в первую очередь экстремумы функции — локальные минимумы и максимумы. Таким образом, выделяем точки , , , .

Точка  является точкой перегиба. Там выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз. Для самой функции эти точки менее интересны, чем экстремумы, но зато они очень важны для графика производной, так что их тоже отмечаем. Таким образом, добавляем к рассмотрению точки ,,,,,.

Теперь разбираемся, как ведёт себя производная в отмеченных точках и между ними.

Левее точки  функция отрицательна, но это неважно для производной. Важно, что функция возрастает, следовательно, производная положительна. При этом наклон графика функции при приближении к  становится всё меньше — производная убывает. В точке  функция имеет экстремум, рост прекращается, скорость роста, то есть производная, равна нулю.

На промежутке от  до  функция убывает, то есть производная отрицательна, в точке  она снова будет равна нулю. Но посмотрим на разницу в поведении функции на отрезках  и .

От  до  функция убывала всё с большей скоростью. Если отрицательная величина, в данном случае скорость, производная, растёт по модулю, значит, она убывает. Итак, производная убывает на этом интервале.

На интервале от  до  функция продолжает убывать, но всё с меньшей скоростью. Это значит, что производная остаётся отрицательной, но убывает по модулю, то есть возрастает.

Давайте ускоримся. Отметим, где ещё производная равна нулю — там, где у самой функции экстремумы, в точках  и . От  до  функция возрастает, следовательно, производная положительна. При этом на интервале от  до  наклон функции увеличивается, производная растёт. На интервале от  до  функция не меняет наклона, производная не меняется. На интервале от  до  функция ещё растёт, но резко уменьшает скорость этого роста — производная убывает. Аналогичные рассуждения проводим на оставшихся двух интервалах.

Задача 2. Глядя на график производной функции , изобразите график самой функции .

Или, что то же самое, глядя на график функции, изобразите график одной из её первообразных.

Первое, что нужно усвоить, знание производной не даёт нам значения функции, то есть мы не знаем, на какой высоте находится график. Тогда начать изображать график функции мы можем на любой высоте. Наша производная на большей части графика отрицательна, следовательно, функция в основном убывает. Тогда, чтобы весь график поместился, начнём повыше.

От  производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

В точке  производная равна нулю. Убывание прекращается.

После этого функция может снова начать убывать или же расти. Поскольку производная дальше становится положительной, то функция начинает возрастать, а в точке  получается локальный минимум. Рост продолжается на интервале от . При этом сама производная сначала возрастала, потом стала убывать. Это означало, что сначала рост убыстрялся — функция была выпукла вниз, затем рост замедлялся — выпуклость вверх.

В точке  производная из положительной становится отрицательной, то есть функция возрастание меняет на убывание. Образуется локальный максимум. Точка  последняя, где производная равна нулю, дальше она всё время отрицательна. Значит, функция дальше будет только убывать. Возрастание и убывание производной будут оказывать влияние только на характер этого убывания — выпуклость вверх и выпуклость вниз. В экстремумах производной функция будет менять эту выпуклость, то есть иметь перегиб.

Самое важное во всём этом примере: если производная отрицательна, то функция убывает, положительна — возрастает. Нужно научиться не путать возрастание производной с возрастанием самой функции и отрицательность (или положительность) производной с отрицательностью (или положительностью) функции.

Экстремум функции

Важным применением производной является отыскание экстремумов функции.

Если вы разобрались с описанием графика функции по её производной, то совершенно понятным становится метод поиска экстремума. Надо найти точки, в которых производная меняет один знак на другой, то есть её график пересекает ось .

Если же задан аналитический вид функции, то необходимо найти нули производной и посмотреть методом интервалов, меняется ли знак производной при переходе через эти нули. Подробно об этом рассказывалось в уроке.

Рассмотрим стандартную задачу по физике на нахождение экстремума.

Задача 3. Камень брошен вертикально вверх со скоростью .Найдите максимальную высоту подъёма камня и общее время полёта до его падения на землю.

Составим уравнение движения. Движение происходит по вертикали, опишем изменение координаты . Поскольку мы имеем дело с равноускоренным движением, то общее уравнение движения имеет такой вид:

.

Ось  направим вверх. Начальная скорость направлена в ту же сторону, значит, положительна. Ускорение свободного падения направлено в противоположную сторону, то есть отрицательно.

Подставим значения начальной скорости и ускорения свободного падения.

Получили уравнение движения, то есть функцию координаты  от времени. Нам надо найти наибольшую высоту подъёма, то есть максимальное значение функции. Ищем производную и приравниваем её к нулю.

Таким образом, . На интервале [0; 2] производная положительна, функция возрастает (конечно, мы это понимаем и без знака производной, камень летит вверх, координата возрастает). После двух производная отрицательна, функция убывает (камень падает). В точке  — максимум. Найдём наибольшее значение функции, для этого подставим значение  в уравнение движения.

Получили, что  метров — максимальная высота подъёма.

Мы понимаем, что камень летит назад столько же времени, сколько и поднимался, ещё  секунды. То есть общее время полёта —  секунды. Но можно ответить на этот вопрос и абсолютно формально. Камень вернулся, значит, координата стала равна нулю. Решим уравнение .

Получили два корня  и . Первый корень соответствует начальному моменту времени, когда камень ещё был на земле, второй корень соответствует моменту, когда камень вернулся.

Ответ: ,.

В ответвлении вы можете познакомиться с решением ещё одной задачи из ЕГЭ по физике, где требуется найти экстремум функции. Это нужно сделать всем ученикам профильного уровня, остальным — по желанию.

Пружинный маятник

Дополнительная задача 1. Пружинный маятник с грузом совершает колебания с амплитудой . Найдите коэффициент жёсткости, при котором максимальная потенциальная энергия минимальна.

Поскольку необходимо найти минимум энергии, нам нужна функция энергии, зависящая от величины, которую мы можем менять. По условию задачи это жёсткость пружины. Таким образом, нам нужна функция .

Потенциальная энергия деформированной пружины вычисляется по следующей формуле: , где  — это деформация пружины. Какова же максимальная деформация? Вот пружина без груза. Обозначим место положения её конца через ноль. Вот к пружине подвесили груз — пружина растянулась вниз на величину .

Теперь груз привели в колебательное движение. Груз движется вверх и вниз с амплитудой . Очевидно, максимальная деформация пружины происходит в нижней точке и деформация равна . Подставим это выражение в формулу потенциальной энергии:

.

Растяжение  не даётся в условии, его надо выразить через известные величины. Когда груз подвешен к пружине, сила тяжести  уравновешивается силой упругости .

По закону Гука, величина силы упругости: .

Приравниваем силы и выражаем , подставляем в уравнение энергии.

Итак, мы получили уравнение максимальной потенциальной энергии (то есть при максимальном отклонении), зависящей от жёсткости пружины.

Меняя жёсткость, мы будем менять значение этой энергии. Найдём, когда это значение минимально. Звучит немного странно: мы ищем минимум максимальной потенциальной энергии. Но если приглядеться, ничего странного здесь нет. Мы ищем минимум среди многих максимумов, самый маленький максимум.

Мы сначала зафиксировали жёсткость пружины (взяли конкретную пружину) и запустили колебания. В этих условиях мы решили задачу на нахождение максимума функции — нашли, в каком положении потенциальная энергия максимальна. Оказалось, что это происходит в нижней точке. Здесь нам даже не понадобилась производная, так как функция была строго возрастающей: чем больше деформация, тем больше энергия, следовательно, максимум достигается при самой большой деформации, в нижней точке.

Теперь мы будем менять пружины (их жёсткости), считать каждый раз максимальную энергию и искать, когда это значение будет минимальным. Оно уже зависит от жёсткости , и эта зависимость не прямая. Поэтому, чтобы найти минимум, мы применим производную.

Итак, найдём производную полученной функции энергии по . Это очень важно понять — переменная сейчас , остальным буквам соответствуют фиксированные значения, то есть с ними мы поступаем как с константами.

Производную всегда легче брать от суммы, чем от произведения. Поэтому выполним возведение в квадрат, раскроем скобки и выполним почленное деление на .

Получили три слагаемых. Теперь берём производную. Первое слагаемое:  в минус первой степени, получаем знак минус и минус вторую степень. Во втором слагаемом  вообще отсутствует, производная равна нулю. В третьем —  в первой степени, остаётся только коэффициент.

Приравняем производную к нулю и выразим .

Изобразим это значение на оси . Слева от  производная отрицательна — энергия убывает. Справа производная возрастает — энергия возрастает. В точке  максимальная энергия имеет минимум.

Ответ: .

В задаче формулируют дополнительный вопрос: «Если увеличить жёсткость пружины, как изменится максимальная энергия?» Поскольку энергия сначала убывает, потом возрастает, то результат может быть разным. Если оба значения жёсткости находятся слева от точки минимума, то увеличение жёсткости приводит к уменьшению энергии; если оба справа, то большей жёсткости соответствует большая энергия. Если же первое значение было левее точки минимума, а новое правее, то результаты могут быть разными.

Поиск экстремума функции может встретиться и в подобной технологической задаче, которую наверняка решали в своё время на производстве.

Задача 4. Рассчитайте размеры пол-литровой консервной банки, чтобы на её производство уходило минимальное количество материала.

Консервная банка имеет форму цилиндра. Объём рассчитывается как площадь основания, умноженная на высоту: , где  — радиус основания банки или, можно сказать просто, — радиус банки, а  — это высота банки. Площадь поверхности, то есть необходимое количество материала, — это площадь двух оснований плюс площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности равна произведению длины  окружности основания на высоту банки .

Площадь основания находим по формуле площади круга.

Таким образом:

Нам нужно минимизировать площадь поверхности, но пока у нас функция площади содержит две переменные: радиус и высоту. Мы же умеем искать экстремумы только для функций одной переменной. Известен объём банки, выразим из первой формулы высоту и подставим в последнюю формулу.

Получили формулу площади поверхности от одной переменной, от . Берём производную. Помним, что все буквы, кроме , соответствуют константам.

Приравниваем производную к нулю и выражаем .

Отметим на числовой оси найденное значение. Слева от неё производная отрицательна, функция площади убывает; справа производная положительна — возрастает. В самой точке функция имеет локальный минимум. Понятно, что здесь и будет минимальное значение.

Мы получили решение для банки любого объёма. Подставим указанный в условии объём: пол-литра — это  кубических сантиметров.

Осталось найти высоту банки. У нас есть формула, связывающая высоту и радиус. Подставив туда точное выражение для , получим:

Итак, банка должна иметь радиус  см и высоту  см.

Ответ: и .

В ответвлении мы рассмотрим типичную задачу из ЕГЭ по математике на оптимальный выбор. Ознакомиться с её решением нужно всем ученикам профильного уровня, остальным — по желанию.

Оптимизационная задача из ЕГЭ по математике

В такого рода задачах некий ограниченный ресурс нужно распределить по двум направлениям таким образом, чтобы максимизировать выгоду либо минимизировать затраты.

Дополнительная задача 2. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе  человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает  человек, то их суточная зарплата составляет  единиц. Если на втором объекте работает  человек, то их суточная зарплата составляет  единиц. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько в этом случае придётся заплатить рабочим?

Итак, минимизировать мы здесь будем общую зарплату рабочим. Мы должны распределить рабочих на два объекта. Понятно, что если мы укажем количество рабочих на первом объекте, то на втором уже придумывать ничего не надо, оно получится автоматически.

В качестве переменной выбираем  — количество человек на первом объекте. Понятно, что оно может меняться от нуля (никого на первом, всех послали на второй объект) до  (все на первом объекте). Тогда на втором объекте  человек. Записываем формулу общей заработной платы.  человек на первом объекте получат всего  единиц, а  человека на втором объекте получат всего  единиц.

Итак, мы получили функцию общей зарплаты, которую и будем минимизировать. Можно раскрыть скобки и упростить выражение, а можно сразу брать производную. С первым слагаемым всё просто, а второе представляет собой сложную функцию: сначала берём производную от квадрата выражения и умножаем на производную от внутренней функции, то есть на .

Производная равна нулю при . Отметим это значение на числовой оси. Справа производная положительная, слева отрицательная.  — точка минимума. Но понятно, что мы не можем такое количество рабочих послать на первый объект. Надо рассмотреть два ближайших целых значения слева и справа, то есть  и .

Вычислим значение функции зарплаты в обеих точках.

Таким образом, минимальное значение зарплаты достигается, если  человек отправлено на первый объект и  — на второй. Общая выплата составляет в этом случае  единицу.

Ответ:  человек — на первый объект,  — на второй,  единица.

Касательная

Другое важное применение производной — это решение вопроса о взаимном расположении нескольких кривых и, в частности, прямых на плоскости. Общий принцип, который мы здесь используем, заключается в следующем. Если две кривые  и  пересекаются в некоторой точке, то аналитически это записывается как .

Если две кривые имеют одинаковый наклон при некотором значении , то это записывается как равенство производных .

Если же две кривые касаются друг друга (чаще мы сталкиваемся с частным случаем касания кривой и прямой), то выполняются оба условия, и мы записываем это в виде системы двух уравнений. Решение системы даёт нам точки такого касания, или, наоборот, если точка уже известна, то это позволяет найти неизвестный параметр в уравнении кривой или прямой.

Задача 5. Прямая  касается параболы . Найдите значение параметра .

Изобразим происходящее на графиках. Парабола и прямая касаются друг друга в некоторой неизвестной нам точке.

Итак, касание означает два факта.

1. В точке  значения обеих функций равны друг другу. Запишем это в виде первого уравнения системы.

2. Кривая и прямая в точке  имеют одинаковый наклон, то есть равные производные. Вычисляем производные и приравниваем — получаем второе уравнение системы.

Из второго уравнения можно выразить одну переменную, но удобнее выразить  и подставить в первое уравнение.

Получаем простое линейное уравнение относительно .

Подставляем  в равенство .

Мы решили задачу. Уравнение параболы имеет следующий вид: .

Ответ: .

Задача 6. Найдите касательную к параболе  в точке .

Решить данную задачу мы можем, используя ту же самую логику, что и в предыдущей задаче. Касательная имеет вид . Касание означает, что в точке  равны значения этих функций: параболы и прямой, а также равны производные, вычисленные в этой точке. Получаем систему двух простейших уравнений.

Находим коэффициент  из второго уравнения, подставляем его значение в первое уравнение и находим .

Таким образом, уравнение касательной .

Чаще подобные задачи решают с помощью готовой формулы.

Найдём , для этого вычислим функцию в точке .

Далее найдём производную и вычислим её в точке .

Осталось подставить эти значения в формулу и выразить .

Получили тот же самый результат.

Ответ: .

Площадь криволинейной трапеции

Вы уже знаете, что определённый интеграл позволяет вычислить площадь криволинейной трапеции. Решим задачу.

Задача 7. Найдите площадь одной арки синусоиды.

Все арки синусоиды имеют одинаковые площади, поэтому выбрать можно любую. Естественно взять на отрезке от нуля до .

Это прямая задача без всяких хитростей. Арка представляет собой криволинейную трапецию, поэтому нужно вычислить определённый интеграл от  в пределах от нуля до .

Интеграл от синуса — минус косинус. Подставляем сначала верхний предел , потом нижний  и вычитаем из одного другое.

Ответ: .

Но применение интеграла не ограничивается расчётом площади только для криволинейной трапеции. Множество фигур можно представить в виде комбинаций (суммы или разности) таких трапеций. И определённый интеграл позволяет вычислить площадь таких фигур.

Задача 8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями ,,.

Изобразим все три линии.

Легко увидеть, что парабола и прямая пересекаются в точке  (докажите это самостоятельно). Полученная фигура не является криволинейной трапецией, так как сверху ограничена не одной, а двумя разными линиями. Решение понятно, разделим данную фигуру на две криволинейных трапеции.

Общая площадь равна сумме их площадей. Находим каждую площадь по отдельности.

Криволинейная трапеция с верхней частью в виде параболы задана на отрезке от  до .

Вторая площадь вычисляется как интеграл на отрезке от  до . Под интегралом два слагаемых, интегрируем каждое по отдельности. Подставляем пределы интегрирования.

Итоговый результат:

.

Ответ: .

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , и .

Парабола  и гипербола  пересекаются в точке , уравнение  задаёт вертикальную прямую, проходящую через точку 4 на оси .

Получили фигуру, ограниченную сверху и снизу кривыми линиями. Можно ли её свести к криволинейным трапециям? Конечно да, только теперь это будет не сумма, а разность площадей.

Искомая площадь равна разности площади большой трапеции, ограниченной параболой, и меньшей, ограниченной гиперболой.

Разность интегралов можем записать как интеграл разности этих двух функций. Важно, что полученная формула будет справедлива не только для функций, лежащих выше оси , но и для любых пар функций, ограничивающих некоторую площадь.

Итак, вычисляем площадь как интеграл разности верхней и нижней функций.

Представим  как . При интегрировании увеличиваем степень на единицу и впереди ставим коэффициент, равный перевёрнутой полученной степени. Интеграл от  табличный и равен .

Пределы интегрирования от  до . Подставляем в результат сначала верхний предел , затем нижний  и вычитаем из первого второе.

Ответ: .

Объём тела вращения

Определённый интеграл позволяет вычислять не только площади плоских фигур, но и объёмы тел. Ситуация будет самой простой, если мы знаем площадь любого поперечного сечения тела относительно одной оси, например оси  (то есть нам известна функция такой площади). Тогда определённый интеграл от функции площади и даёт требуемый объём.

Кажется, что знание функции площади поперечного сечения — очень сложное требование. На самом деле, существует много тел, где всё обстоит очень просто. Если криволинейную трапецию заданной функцией  вращать вокруг оси , то полученное тело называют телом вращения.

Поперечное сечение представляет собой круг. Радиус круга в каждой точке  равен . Тогда его площадь находится по формуле площади круга:

.

В свою очередь, объём тела вращения:

.

Задача 10. Найдите объём тела, полученного вращением части параболы  на отрезке  вокруг оси .

Используем формулы объёма тела вращения.

Пределы интегрирования 0 и 1, функция  — это .

Ответ: .

Следующую задачу в ответвлении нужно посмотреть всем ученикам профильного уровня, остальным — по желанию.

Объём шара

Дополнительная задача 3. Выведите формулу объёма шара радиусом .

Для упрощения рассуждений возьмём только половину шара.

Выберем точку  в интервале от нуля до  и найдём радиус сечения. Сначала найдём радиус сечения  из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора.

Площадь сечения , подставляем туда найденный радиус сечения и получаем формулу площади сечения.

Вычислим объём полушара как интеграл от функции площади.  меняется от нуля до .

Но это объём только половины шара. Умножим на два, чтобы получить формулу объёма всего шара.

С помощью определённого интеграла легко получаются формулы объёмов известных нам тел вращения: цилиндра, конуса, шара, шарового сектора и сегмента. Посмотреть на вывод всех этих формул вы можете в уроке геометрии по этой теме.

Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень: учеб. для 11 кл. / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф, 2019.

Дополнительные рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Интернет-портал «Математические этюды» (Источник)

Домашнее задание

1. Напишите уравнение касательной к графику функции  в точке .

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой  и прямой  на отрезке .

3. Найдите объём тела вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривыми,,

    и .