04. Производная, таблица производных

Определение производной, ее физический и геометрический смысл

Рассмотрим функцию и ее график . Для наглядности будем использовать физическую интерпретацию производной.

Аргументом пусть будет время t. Зависимой переменной пусть будет S – расстояние до дома. График функции показывает путь до дома в каждый момент времени.

 – момент времени. В этот момент времени мы находимся на расстоянии от дома.

Через некоторое времямы будем находиться на расстоянииот дома. Мы имеем приращение аргумента –, и приращение функции – .

Получим треугольник, у которого катеты равны приращению аргумента, приращению функции, а гипотенуза АВ – секущая, где– тангенс угла наклона этой секущей.

Нас интересует отношение приращения функции к приращению аргумента.

Во-первых, мы получим среднюю скорость. Таков физический смысл.

А геометрический смысл состоит в том, что мы получим тангенс угла наклона секущей.

За конечное времяможет произойти множество событий, и все их надо уловить, отразить. Для этого устремимк 0. То есть мы будем рассматривать ближайшие точки к точке. Но если приращение аргумента стремится к 0, то приращение функции также стремится к 0. Тогда секущая АВ будет стремиться занять положение касательной к графику в точке А. Рассмотрим, что произойдет с отношением:

Более строгое определение

Такой предел называется производной функции и обозначается.

Каков физический и геометрический смысл производной?

– это мгновенная скорость в момент. Таков физический смысл производной.

Геометрический смысл:

– тангенс угла наклона касательной в точке.

Мы вспомнили определение производной, ее физический и геометрический смысл.

Следующей нашей целью будет вспомнить технику дифференцирования, то есть технику нахождения производных.

Таблица производных

1. (производная от постоянной величины является нулем)

Например:, поскольку тангенс – величина постоянная и от  x не зависит.

2. Следующая функция линейная:

То есть производной от линейной функции является ее угловой коэффициент.

Например:

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Правила нахождения производных

1.

То есть производная суммы равна сумме производных.

2.

То есть константу можно выносить за знак производной.

.

3. Производная произведения:

4. Производная частного:

Производные сложных функций

Тогда:

1.

а.

б.

2.

а.

б.

3.

а.

б.

4.

5.

а.

б.

6.

а.

б. 

Мы повторили определение производной и таблицу производной. Следующий урок посвятим исследованию функций с помощью производных.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathprofi.ru (Источник).

2. Википедия (Источник).

Домашнее задание

1. Найдите производные функций:

2. Найдите значения производной

 в точках

.

3. Найдите производную функции

.

4. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 750-752, 760, 761.