16. Производная

Определение и смысл производной

Сначала вспомним определение и смысл производной. Для этого рассмотрим функциюи ее график, дадим физическую интерпретацию.

По осиоткладываем время, по оси– расстояние. Функция– закон изменения расстояния в зависимости от времени.

В моментрасстояние равно. Через времяв момент временирасстояние равно. За времярасстояние изменилось на. Отношениек– это средняя скорость за время:

С геометрической точки зрения данное отношение – это тангенс угла наклона секущей АВ. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой АВ, катетамиитангенс острого угларавен отношению противолежащего катетак прилежащему катету:

Предположим, чтостремится к нулю. Тогдатоже стремится к нулю, и секущая АВ стремится занять положение касательной (рисунок 15.2).

Вернемся к отношению. Если оно стремится к какому-то конкретному числу, то это число и называется производной функции в точке:

Более строго производной функции в точкеназывается предел отношенияпри, стремящемся к нулю:

Физический смысл производной: производная – это мгновенная скорость в момент.

Геометрический смысл: производная – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке.

Таблица производных, производная сложной функции, примеры

Далее требуется вспомнить технику дифференцирования – нахождения производных для различных функций. Рассмотрим на примерах.

1.  , здесь С – постоянное число: производная от константы равна нулю. С физической точки зрения это очевидно: если расстояние постоянно, то есть мы находимся на одном и том же месте, например, в школе или на работе, никакой скорости нет, производная равна нулю;

2. Линейная функция:, например;

3. Степенная функция:; производная сложной степенной функции:; важный частный случай:; например:4. Тригонометрические функции:

a) Синус:

b) Косинус:

c) Тангенс:

d) Котангенс:

Например:

5. Показательная функция:

Например:

6. Логарифмическая функция:

Например:

Построение графика функции с помощью производной

Пример 1: построить график функции: 

Действуем по стандартной методике. Сначала исследуем функцию и строим эскиз графика, не применяя производную.

ОДЗ:

Корни: чтобы найти корни функции, необходимо выражение приравнять к нулю – имеем произведение, равное нулю:. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует, т. е. соблюдена ОДЗ. Имеем:, оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Имеем два интервала знакопостоянства: на крайнем правом функция имеет знак плюс, далее знак меняется, так как все корни имеют первую степень. Так, на интервалефункция отрицательна.

Опишем эскиз графика в окрестностях корней. Имеем: поскольку в точкезнак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х. Слева от точкифункция имеет знак плюс, кривая расположена над осью и обрывается приТеперь опишем эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится в данном случае к минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Так, если х стремится к бесконечности с минусом, у тоже стремится к бесконечности с минусом.

Уточним поведение функции с помощью производной.

Приравниваем производную к нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. Имеем:. Так, когдапроизводная положительна, функция возрастает. Когдапроизводная отрицательна, функция убывает. Точка– критическая точка, точка максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус. Имеем:

Проиллюстрируем:

Рис. 3. График функции

Прочтем полученный график: когда аргумент возрастает от минус бесконечности до четырех третьих, функция возрастает от минус бесконечности до. Когда аргумент возрастает от четырех третьих до двух, функция убывает отдо нуля. В точкепроизводная функции не существует, касательной к графику является вертикальная прямая.

Решение задачи с параметром

Пример 2: найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение:

а) имеет хотя бы одно решение;

б) имеет ровно одно решение;

Согласно стандартной методике, сначала необходимо рассмотреть функцию, стоящую в левой части, и построить ее график. Это уже было выполнено в предыдущем примере (рисунок 15.3). Далее требуется рассечь график семейством прямых, найти точки пересечения и выписать ответ. Выполним рассечение:

Рис. 4. Рассечение графика семейством прямых

Очевиден ответ:

а) приуравнение имеет хотя бы одно решение;

б) приуравнение имеет единственное решение;

Итак, мы повторили важную тему нахождения производной, рассмотрели таблицу производных основных функций, производные сложных функций. Решили некоторые примеры, связанные с производными. Далее перейдем к исследованию функций.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Cleverstudents.ru (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Найти производную функции:

а);

б);

в);

г);

д);

е);

1. Построить график функции:

а);

б);

в);

1. Найти значения параметра, при которых уравнение не имеет решений: