11. Прямая и обратная функции

Понятие функции

Пусть заданы два множества –;– и закон, который каждому элементу первого множества ставит в соответствие единственный элемент второго множества. Тогда:– числовая функция, где,.

Отметим, что множества могут быть любыми, но мы изучаем, в основном, числовые функции, поэтому и множества числовые.

Определение

Закон,, по которому каждому значению независимой переменной (аргументу)ставится в соответствие единственное значениеназывается функцией.

Главное требование к функции есть однозначность, единственность от аргумента к функции – отк.

Каждая функция имеет свои характеристики:

-область определения– множество всех допустимых, при которых функция существует, проекция графика на ось;

-область значений– множество всех значений, которые принимает функция, проекция графика на ось;

-график функции – множество всех точек вида,.

Пример

График функции нам известен (см. рисунок 1):

Рис. 1. График функции

Область определения; область значений

Важно, что значениефункция принимает при двух значениях аргументаи. Отметим также, что данная функция не монотонна, а значит, не имеет обратной функции.

Пример (см. рисунок 2)

,

Рис. 2. График функции,

Область определения; область значений

Теперь значениефункция принимает при единственном значении аргумента. Данная функция будет монотонна, монотонно возрастающая, а значит, имеет обратную функцию.

Обратная функция в общем случае

Теперь рассмотрим общий случай. Пусть задана некоторая функция и эта функция монотонна, пусть монотонно возрастает (см. рисунок 3).

,

Так, функция определена на множестве, пусть это отрезок. Только из этого отрезка может принимать значения аргумент. При этом функция может принимать только значения из множества– отрезок. Множество– область определения функции; множество– область значений функции.

Здесь– независимая переменная;– зависимая переменная, функция– это закон, по которому каждому значениюставится в соответствие единственное значение. Для монотонной функции также характерно, что каждое значениедостигается при единственном значении. То есть уравнение,имеет единственное решение,.

Так, соответствие, которое каждому числуиз множества значений сопоставляет решение уравнения, является функцией – эта функция будет обратной и обозначается как:

Обратная функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством значений и областью определения.

Для обратной функции– независимая переменная,– зависимая переменная.

Свойства обратной функции, методика получения

Свойства обратной функции

- Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой.

- Прямая и обратная функции имеют одинаковый характер монотонности (обе возрастают или обе убывают).

Рассмотрим методику получения обратной функции.

Дано:,, функциямонотонно возрастает.

Задача: найти обратную функцию и дать иллюстрацию в плоскости

Рассмотрим график прямой функции (см. рисунок 4):

Для того чтобы получить обратную функцию, нужно:

1. Выразитьчерез, то есть решить уравнениеотносительнои получить. Так, получаем обратную функцию в осях.

2. Выполнить переобозначение. Поскольку мы привыкли независимую переменную обозначать за, а зависимую за, то в полученной обратной функциииследует поменять местами:;. Получаем обратную функцию в осях.

3. Чтобы построить график обратной функции, нужно график исходной функции симметрично отобразить относительно прямой.

Пример

Пример

Дано:.

Задача: найти обратную функцию и построить график.

Данная показательная функция монотонно возрастает, значит, для нее существует обратная функция, которая тоже будет монотонно возрастать.

Сначала решим уравнениеотносительно:,.

Выполним переобозначение:.

Построим графики (см. рисунок 5):

Рис. 5. График функции

и обратной ей функции

Видим, что обе функции монотонно возрастают.

Более сложные задачи

Пример

Получить обратную функцию для 

График заданной функции (см. рисунок 1):

Рис. 1. График функции

Выбранный отрезок рассматривается потому, что на нем функция монотонна, а именно монотонно возрастает, кроме того, пробегает все свои возможные значения.

Чтобы получить обратную функцию, выразимчерез:

Выполним переобозначение (см. рисунок 2):

,

Отметим, чтопериодическая немонотонная функция, для нее не существует обратной функции. Но, вместе с тем, она кусочно-монотонная, и на отрезке, где она монотонна, существует обратная функция – ее мы нашли и построили.

Пример

Получить обратную функцию для.

Отметим, что заданная функция не монотонна на естественной области определения, но она кусочно-монотонная. Рассматриваем отрезок, здесь функция монотонна и пробегает все свои значения.

Так как функция монотонна, существует обратная функция. Выразимчерез:

Выполним переобозначение:

Выполним построение (см. рисунок 3):

Видим, что обе функции монотонно возрастают.

Вывод

Итак, мы подробно вспомнили понятия прямой и обратной функций, решили несколько задач.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – 10-е изд. – М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа, 2013.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение, 2011.

4. Алимов А.Ш. Алгебра и начала математического анализа. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

Домашнее задание

1. Найти обратную функцию и построить графики:

а);

б) ;

в);

г);

д) ;

е)