01. Равносильность уравнений
13 мин
02. Равносильность уравнений (продолжение)
10 мин
03. Равносильность уравнений, примеры
13 мин
04. Общие методы решения уравнений
12 мин
05. Метод разложения на множители
10 мин
06. Метод введения новой переменной
17 мин
07. Функционально-графический метод
12 мин
08. Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств
13 мин
09. Метод интервалов
18 мин
10. Системы и совокупности неравенств
16 мин
11. Иррациональные неравенства
24 мин
12. Неравенства с модулями
21 мин
13. Уравнения и неравенства с двумя переменными
14 мин
14. Системы уравнений. Основные сведения и примеры
16 мин
15. Системы уравнений. Метод подстановки
16 мин
16. Системы уравнений. Метод алгебраического сложения
20 мин
17. Системы уравнений. Метод введения новых переменных
14 мин
18. Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры
15 мин
19. Линейная функция в задачах с параметром
16 мин
20. Квадратичная функция в задачах с параметром
18 мин
21. Графический метод в задачах с параметром
22 мин
22. Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач
23 мин
03. Равносильность уравнений, примеры
Видео доступно по абонементу
На данном уроке мы продолжим изучать равносильные преобразования уравнений, рассмотрим понятие сужения ОДЗ. Разберём несколько примеров на эту тему.
(2)
Уравнения (1) и (2) – равносильны, то есть множество их корней совпадает.
(2) | |
Уравнение (2) является следствием уравнения (1). При проверке можно лишние корни отсечь.
Лишние корни возникают при расширении ОДЗ. Ситуация будет хуже, если произойдёт сужение ОДЗ. Такие случаи мы и рассмотрим.
Найдём ОДЗ для левой части:
или (Рис. 1)
ОДЗ для правой части: (Рис. 2)
Все корни из 3-й четверти потеряны. Следовательно, даже при применении известных формул, можно сузить ОДЗ.
Для того чтобы это не происходило, эту формулу нужно применять в следующем виде:
ОДЗ для левой части: или (Рис. 1)
ОДЗ для правой части: (Рис. 3)
То есть ОДЗ расширилась. При расширении ОДЗ могут возникнуть лишние корни, которые можно устранить проверкой.
Рассмотрим следующий пример.
Найдём ОДЗ для правой части:
(Рис. 4)
ОДЗ для левой части: (Рис. 5)
То есть ОДЗ сузилась, все корни, удовлетворяющие условию , могут быть потеряны.
Преобразуем данную формулу следующим образом:
Тогда ОДЗ левой и правой части будут совпадать: .
Рассмотрим конкретное уравнение:
ОДЗ: (Рис. 4)
Неверное решение:
ОДЗ:
Ответ: .
Мы потеряли корень из-за сужения ОДЗ.
Ответ:
Продолжим изучение случаев, когда происходит сужение ОДЗ и, следовательно, потеря корней.
Найдём ОДЗ левой части:
или (Рис. 6)
ОДЗ правой части:
(Рис. 7)
Чтобы не допустить потери корней, преобразуем формулу следующим образом:
ОДЗ правой части осталось неизменным (Рис. 6).
Найдём ОДЗ левой части:
(Рис. 8)
Произошло расширение ОДЗ, то есть возможное приобретение дополнительных корней.
Ещё один случай сужения ОДЗ – это деление на или на выражение, которое его содержит. Рассмотрим конкретный пример.
Неверное решение:
Пусть .
Ответ: .
Верное решение:
или
или
Ответ: .
Мы рассмотрели основные случаи сужения ОДЗ. На следующем уроке перейдём к рассмотрению общих методов решений уравнений.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Полезные ссылки
Проверь себя
Решить уравнение
Решить уравнение:
Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1674–1676.