02. Равносильность уравнений (продолжение)

Данный урок посвящён теме «Равносильность уравнений». На нём мы продолжим изучать примеры равносильных, или, как их ещё называют, эквивалентных уравнений и рассмотрим варианты с расширенными областями допустимых значений. Во время занятия мы приведём примеры, когда равносильность нарушается, в том числе искажается область допустимых значений.

Расширение ОДЗ

К появлению лишних корней ведёт расширение области допустимых значений. Но когда же эта область расширяется? Типовые ошибки:

Неверное освобождение от знаменателя.

Продемонстрируем на конкретном примере.

Пример 1.

Решить уравнение (1)

Неверное решение:

Умножить обе части на , получить равенство числителей и решить простейшее уравнение .

Ответ: .

Почему это решение не верно?

Пo существу мы обе части уравнения умножили на когда , это выражение равно нулю. В этом решении это важное обстоятельство не учтено. Имеем неверный ответ и неверное решение. Приведём верное решение.

Верное решение:

Можно верное решение оформить по-разному. Но главное – учесть ОДЗ.

Рассмотрим исходное уравнение (1). Оно равносильно следующей системе:

(1) (принадлежит пустому множеству).

Ответ: решений нет.

Сделаем комментарий к неверному решению и к верному. Неверное решение можно было продолжить и проверить. Окажется, что полученное решение  не подходит. В случае когда важна эквивалентность, принципиальной необходимости в проверке нет. Итак, мы получили неверное решение и привели верное решение. Ещё раз отметим: освобождение от знаменателя ведёт к расширению ОДЗ и является часто ошибкой. Именно первый пример нам показал, что мы получили решение  то есть разделили на нуль. Верное решение – это учёт ОДЗ.

Рассмотрим операцию возведения в чётную степень и связанные с этим опасности и типовые ошибки. Сделаем это на примере уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение:  (1)

Речь идёт о том, можно ли возвести в квадрат и что при этом происходит.

Неверное решение:

Ответ: .

Где здесь ошибка?

Мы расширили ОДЗ. Потому что в уравнении допускались не все  а в уравнении допускаются все Значит, возможно, мы получили посторонние корни. Ясно, что если бы мы проверили корни а это нужно сделать,  не подошёл бы.

Ошибка в нарушении важной теоремы, которая говорила, что в чётную степень обе части уравнения можно возвести и сохранить эквивалентность, если они не отрицательны. А здесь мы это не учли. Например, корень  не подойдёт. Можно было бы подставить этот корень и увидеть, что корень квадратный не может быть равен . С учётом этого приведём верное решение.

Верное решение:

Используем известную верную схему:

(1)

Ответ: .

Важная особенность:  входит в ОДЗ, но это посторонний корень. И это важная особенность при возведении в квадрат.

Обсудим ещё один источник возникновения типовых ошибок – операцию освобождения от логарифмов.

Подчеркнём, что тут нет равносильности.

Решить уравнение:

(1)

Решение:

(1)

Исходное уравнение решено равносильными преобразованиями.

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели примеры, когда область допустимых значений расширяется, рассмотрели типовые ошибки при этом. На следующем уроке мы рассмотрим случаи, когда ОДЗ сужается, и возможные при этом типовые ошибки. 

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение. 

Полезные ссылки

1. Uztest.ru.

Проверь себя

1. Решить уравнение

2. Решить уравнение: 

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1670, 1671, 1672, 1673.