01. Равносильность уравнений
02. Равносильность уравнений (продолжение)
03. Равносильность уравнений, примеры
04. Общие методы решения уравнений
05. Метод разложения на множители
06. Метод введения новой переменной
07. Функционально-графический метод
08. Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств
09. Метод интервалов
18 мин
10. Системы и совокупности неравенств
11. Иррациональные неравенства
12. Неравенства с модулями
13. Уравнения и неравенства с двумя переменными
14. Системы уравнений. Основные сведения и примеры
15. Системы уравнений. Метод подстановки
16. Системы уравнений. Метод алгебраического сложения
17. Системы уравнений. Метод введения новых переменных
18. Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры
19. Линейная функция в задачах с параметром
20. Квадратичная функция в задачах с параметром
21. Графический метод в задачах с параметром
22. Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач
01. Равносильность уравнений
Видео доступно по абонементу
На этом уроке мы рассмотрим понятие равносильности уравнений и приведём соответствующие примеры.
Определение 1.
Два уравнения с одной переменной и называются равносильными, если множество их корней совпадает.
Например, если в первом единственный корень , во втором тоже единственный корень , то эти уравнения равносильны.
Это очень важное понятие. В процессе решения мы пытаемся заменить более сложные уравнения более простыми, но равносильными (эквивалентными).
Ответ: .
Ответ: .
Уравнения 1 и 2 называются равносильными.
Рассмотрим важный частный случай. Если первое уравнение не имеет корней и второе уравнение не имеет корней, то данные уравнения мы считаем равносильными. Множество их решений совпадает – это пустое множество.
Определение 2:
Если каждый корень уравнения
Является и корнем уравнения , то уравнение называют следствием из уравнения Обозначают это следующим образом:
Предположим, что первое уравнение имеет корни второе уравнение имеет корни Тогда из первого уравнения следует второе.
В чём важность этого определения?
При решении уравнения исходное уравнение заменяется более простым, важно не потерять множество корней исходного уравнения, а ненужные корни можно потом отбросить проверкой.
Утверждение:
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
При практическом решении уравнений важно следить за их эквивалентностью (равносильностью).
Равносильность гарантируют некоторые теоремы.
Теорема 1:
Равносильность сохранится, если любой член уравнения перенести в другую часть с противоположным знаком.
или
Теорема 2:
Имеем уравнение. Можно возвести обе части в нечётную степень, при этом гарантируется сохранение равносильности уравнений.
Теорема 3:
.
Теорема 4:
,
Где
При решении уравнений часто приходится возводить в чётную степень. Сохранится ли при этом эквивалентность?
Теорема 5:
Если при из ОДЗ, то
Теорема 6:
Мы рассмотрели теорию равносильности уравнений. Эта теория будет использована и на следующем уроке.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Полезные ссылки
Проверь себя
Решите уравнение .
Решите уравнение .
Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1666–1669.