01. Равносильность уравнений
13 мин
02. Равносильность уравнений (продолжение)
10 мин
03. Равносильность уравнений, примеры
13 мин
04. Общие методы решения уравнений
12 мин
05. Метод разложения на множители
10 мин
06. Метод введения новой переменной
17 мин
07. Функционально-графический метод
12 мин
08. Решение неравенств с одной переменной, равносильность неравенств
13 мин
09. Метод интервалов
18 мин
10. Системы и совокупности неравенств
16 мин
11. Иррациональные неравенства
24 мин
12. Неравенства с модулями
21 мин
13. Уравнения и неравенства с двумя переменными
14 мин
14. Системы уравнений. Основные сведения и примеры
16 мин
15. Системы уравнений. Метод подстановки
16 мин
16. Системы уравнений. Метод алгебраического сложения
20 мин
17. Системы уравнений. Метод введения новых переменных
14 мин
18. Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры
15 мин
19. Линейная функция в задачах с параметром
16 мин
20. Квадратичная функция в задачах с параметром
18 мин
21. Графический метод в задачах с параметром
22 мин
22. Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач
23 мин
01. Равносильность уравнений
Видео доступно по абонементу
На этом уроке мы рассмотрим понятие равносильности уравнений и приведём соответствующие примеры.
Определение 1.
Два уравнения с одной переменной и называются равносильными, если множество их корней совпадает.
Например, если в первом единственный корень , во втором тоже единственный корень , то эти уравнения равносильны.
Это очень важное понятие. В процессе решения мы пытаемся заменить более сложные уравнения более простыми, но равносильными (эквивалентными).
Ответ: .
Ответ: .
Уравнения 1 и 2 называются равносильными.
Рассмотрим важный частный случай. Если первое уравнение не имеет корней и второе уравнение не имеет корней, то данные уравнения мы считаем равносильными. Множество их решений совпадает – это пустое множество.
Определение 2:
Если каждый корень уравнения
Является и корнем уравнения , то уравнение называют следствием из уравнения Обозначают это следующим образом:
Предположим, что первое уравнение имеет корни второе уравнение имеет корни Тогда из первого уравнения следует второе.
В чём важность этого определения?
При решении уравнения исходное уравнение заменяется более простым, важно не потерять множество корней исходного уравнения, а ненужные корни можно потом отбросить проверкой.
Утверждение:
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
При практическом решении уравнений важно следить за их эквивалентностью (равносильностью).
Равносильность гарантируют некоторые теоремы.
Теорема 1:
Равносильность сохранится, если любой член уравнения перенести в другую часть с противоположным знаком.
или
Теорема 2:
Имеем уравнение. Можно возвести обе части в нечётную степень, при этом гарантируется сохранение равносильности уравнений.
Теорема 3:
.
Теорема 4:
,
Где
При решении уравнений часто приходится возводить в чётную степень. Сохранится ли при этом эквивалентность?
Теорема 5:
Если при из ОДЗ, то
Теорема 6:
Мы рассмотрели теорию равносильности уравнений. Эта теория будет использована и на следующем уроке.
Список литературы
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Полезные ссылки
Проверь себя
Решите уравнение .
Решите уравнение .
Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1666–1669.