01. Показательная функция, её свойства и график. Начальные сведения
02. Показательная функция, её свойства. Простейшие показательные уравнения
03. Показательная функция, её свойства и простейшие показательные неравенства
04. Показательные уравнения
05. Показательные уравнения. Более сложные случаи
06. Показательные неравенства
07. Показательные неравенства. Более сложные случаи
08. Показательно-степенные неравенства
09. Понятие логарифма
10. Понятие логарифма. Простейшие задачи
11. Функция y = logₐx, её свойства и график
12. Функция y = logₐx, её свойства и график (продолжение)
13. Функция y = logₐx, её свойства и график. Решение задач
14. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
15. Свойства логарифмов. Логарифм степени
16. Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач
17. Логарифмические уравнения
18. Решение логарифмических уравнений
19. Решение логарифмических уравнений (продолжение)
20. Логарифмические неравенства
21. Решение логарифмических неравенств
22. Решение логарифмических неравенств (продолжение)
23. Число e. Функция y = eˣ, её свойства, график, дифференцирование
24. Натуральные логарифмы. Функция y = ln x, её свойства, график, дифференцирование
22. Решение логарифмических неравенств (продолжение)
Видео доступно по абонементу
В данном уроке мы рассмотрим решение логарифмических неравенств повышенной сложности, в частности, неравенств с переменным основанием логарифма.
Пусть – некоторое фиксированное число, при чём , – основание логарифма. Логарифмическая функция монотонно возрастает. Тогда нам известно эквивалентное решение логарифмического неравенства:
Теперь пусть . Логарифмическая функция монотонно убывает:
Рассмотрим случай, когда основание логарифма зависит от . Тогда нужно рассмотреть два случая:
Наша цель состоит в том, чтобы упростить полученную громоздкую совокупность.
Напомним важный опорный факт:
Нам потребуются следующие выражения:
Теперь нам проще решить следующую задачу.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Мы определили, что заданное неравенство эквивалентно следующей совокупности:
Преобразуем:
Согласно опорному факту, полученная совокупность эквивалентна системе:
Что и требовалось доказать.
Пример 1 – решить неравенство:
Уравняем основания логарифмов, в данном случае представим число в правой части как логарифм с требуемым основанием:
Имеем неравенство:
Решим неравенство двумя способами.
Способ 1:
Проиллюстрируем решение:
Ответ: .
Составим эквивалентную систему:
Проиллюстрируем решение дробно-рационального неравенства:
Получаем решение системы:
Ответ: .
Теперь рассмотрим решение нестрогого логарифмического неравенства , где .
Заданному неравенству эквивалентна система:
Пример 2 – решить неравенство:
Решаем с помощью эквивалентной системы (второй способ). Уравняем основания логарифмов, в данном случае представим число в правой части как логарифм с требуемым основанием:
Имеем неравенство:
Составим эквивалентную систему:
Покажем решение первого неравенства методом интервалов:
Учитывая ОДЗ, имеем ответ: .
Итак, мы рассмотрели решение логарифмических неравенств повышенной сложности. Далее перейдём к изучению новой темы – дифференцирование показательной функции.
Список литературы
1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Полезные ссылки
1. Webmath.ru.
Проверь себя
1. Решить неравенство:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
2. Решить неравенство:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
3. Решить неравенство:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
"