21. Решение логарифмических неравенств

В данном уроке мы рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств, покажем, каким образом оно сводится к решению простейших логарифмических неравенств.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства».

Ключом к решению логарифмических неравенств являются свойства логарифмической функции, т.е. функции вида  (). Здесь – независимая переменная, конкретное число, – зависимая переменная, функция.

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, . При  монотонно убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, .

Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

То есть знак неравенства сохраняется.

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т.к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Пример 1 – решить неравенство:

Согласно методике решения простейших логарифмичеких неравенств, первым действием необходимо уравнять основания логарифмов, в данном случае представить правую часть в виде логарифма с требуемым основанием:

Получаем неравенство:

Поскольку основание логарифма больше единицы, в эквивалентной системе знак неравенства сохранится:

Преобразуем:

Ответ: .

Пример 2 – решить неравенство:

Учтём ОДЗ:

ОДЗ: .

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Нам известно, что число Пи больше единицы (). Поэтому в эквивалентном неравенстве знак исходного неравенства сохраняется:

Преобразуем полученное неравенство:

Корни квадратного уравнения, стоящего в левой части, согласно теореме Виета . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас значения находятся между корней уравнения:

Ответ с учётом ОДЗ: . 

Сведение к простейшему логарифмическому неравенству часто осуществляется с помощью замены переменных.

Пример 3 – решить неравенство:

Приведём второй член к основанию 5:

Получили неравенство:

Очевидна замена:

Имеем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части: . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями.

Вернёмся к исходным переменным:

Преобразуем согласно определению логарифма:

Ответ: .

Пример 4 – решить неравенство:

Учтём ОДЗ:

ОДЗ: .

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Преобразуем правую часть в логарифм с требуемым основанием:

Имеем неравенство:

Основание логарифма больше единицы, получаем эквивалентное неравенство с тем же знаком:

Преобразуем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части: . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями:

Ответ с учётом ОДЗ: .

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых логарифмических неравенств. Далее мы перейдём к решению более сложных логарифмических неравенств.

Список рекомендованной литературы.

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Webmath.ru .

Проверь себя

1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №526-528;

2. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .