19. Решение логарифмических уравнений (продолжение)

На данном уроке мы продолжим решать разнообразные типовые логарифмические уравнения, рассмотрим уравнения повышенной сложности.

Ключом к решению логарифмических уравнений являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида . Здесь – независимая переменная, конкретное число, – зависимая переменная, функция.

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности). При  монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности). Именно монотонность функции позволяет решать простейшие логарифмические уравнения (т. к. из равенства логарифмов по одному основанию вытекает равенство подлогарифмических выражений ), все остальные логарифмические уравнение сводятся к простейшим:

ОДЗ заданного уравнения определяется системой. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:

Мы выяснили, что функции и равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство, чтобы соблюсти ОДЗ.

Имеем смешанную систему. Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.

Напомним методику решения простейших логарифмических уравнений:

• yравнять основания логарифмов;

• приравнять подлогарифмические функции;

• выполнить проверку.

Перейдём к решению примеров.

Пример 1 – решить уравнение:

Отметим ОДЗ: (т. к. стоит под логарифмом и в основании логарифма).

Нам известно следующее свойство логарифма:

.

Получаем:

.

Приведём подобные:

.

Сократим численный множитель

.

Преобразуем согласно определению логарифма:

.

Пример 2 – решить показательное уравнение:

.

Способ 1 (по определению логарифма):

.

Способ 2 (прологарифмировать обе части):

Рекомендация – если неизвестное находится в показателе, то часто применяется такой способ решения. Но нужно обратить внимание на вопрос – можно ли в данном случае логарифмировать? В заданном примере и левая, и правая части строго положительны, поэтому имеем право записать:

.

Вынесем показатель степени как сомножитель согласно свойству логарифма:

Упростим: .

Способ 3 (уравнять основания в показательном уравнении).

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

.

Пример 3 – решить показательно-степенное уравнение:

Укажем ОДЗ: .

Теперь имеем право прологарифмировать обе части. Выбираем основание логарифма 2, т. к. такое основание уже представлено в уравнении:

Вынесем показатели степени как сомножители:

.

Упростим правую часть:

Введём замену переменных:

Получаем:

Раскроем скобки и перенесём все члены в одну сторону:

Получили квадратное уравнение, согласно теореме Виета, имеем корни:

Вернёмся к исходным переменным:

Ответ:  или

Пример 4 – решить уравнение:

ОДЗ: .

Вынесем показатель степени как сомножитель, при этом используем модуль, чтобы не исказить область определения:

Раскроем модуль, учитывая ОДЗ:

Приведём подобные:

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели решение более сложных типовых логарифмических уравнений. Далее перейдём к изучению логарифмических неравенств.

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Reshit.ru.

2. Egesdam.ru.

3. Math.md.

Проверь себя

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 518–520;

2. Решить уравнение:

а);

б) ;

в) ;

г) .

3. Решить уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .