18. Решение логарифмических уравнений

На данном уроке мы продолжим изучение важной темы – решение логарифмических уравнений. Будем основываться на результатах, полученных в предыдущем уроке.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства».

Ключом к решению логарифмических уравнений являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида  ().

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно возрастает, при  монотонно убывает. Именно монотонность функции позволяет решать простейшие логарифмические уравнения, все остальные логарифмические уравнения сводятся к простейшим:

ОДЗ заданного уравнения определяется системой. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:

Мы выяснили, что функции и равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.

Имеем смешанную систему. Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.

Напомним методику решения простейших логарифмических уравнений:

• yравнять основания логарифмов;

• приравнять подлогарифмические функции;

• выполнить проверку.

Чтобы уравнять основания, следует воспользоваться свойствами логарифмов.

Повторим известные нам свойства логарифмов. Здесь

1. Логарифм произведения:  (произведение  может быть положительным если и  оба отрицательные числа, но исходя из правой части и  строго положительны).

2. Логарифм частного: .

3. Логарифм степени:

4. Переход к новому основанию:

.

Пример 1 – решить уравнение: .

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием:

.

Таким образом, мы уравняли основания логарифмов. Имеем:

.

Теперь имеем право приравнять подлогарифмические выражения:

Ответ: .

Данное уравнение можно также решить на основании определения логарифма:

.

Пример 2 – решить уравнение:

.

Решим на основании определения логарифма:

.

Учтем ОДЗ:

.

Поскольку  (как основание логаримфа),  больше нуля, и выражение под логарифмом всегда больше нуля.

Решаем уравнение. Перенесём все слагаемые в одну сторону:

Разложим многочлен в левой части на множители способом группировки, первый член объединим со вторым, третий с четвёртым:

.

Применим ко второй скобке формулу сокращённого умножения, а именно разности квадратов:

.

Получаем корни:

.

Учитывая ОДЗ, получаем ответ: .

Рассмотрим уравнение, на примере которого в дальнейшем сможем избежать многочисленных типовых ошибок.

Пример 3 – решить уравнение:

.

Основания всех логарифмов одинаковы, в левой части стоит сумма логарифмов, согласно свойству имеем право преобразовать её в логарифм произведения:

.

Необходимо учесть ОДЗ. Чтобы существовал каждый из заданных логарифмов, скобки  и  должны быть строго положительны, тогда как после применения свойства произведение будет положительным, если обе скобки будут отрицательны, и новый логарифм будет существовать, но при этом исходный потеряет смысл.

Таким образом, имеем систему:

Учитывая ОДЗ, получаем ответ: .

Следующее логарифмическое уравнение сводится к совокупности двух простейших с помощью замены переменных.

Пример 4 – решить уравнение:

Преобразуем так, чтобы уравнять основания логарифмов:

Комментарий: преобразовано согласно формуле

В результате преобразований получили:

Очевидна замена:

Получаем квадратное уравнение:

.

Согласно теореме Виета имеем корни:

.

Вернёмся к исходным переменным:

Решаем каждое уравнение согласно определению логарифма:

Ответ:  или .

Итак, мы рассмотрели решение некоторых типовых логарифмических уравнений. Далее мы рассмотрим решение более сложных логарифмических уравнений.

Список литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Полезные ссылки

1. Reshit.ru.

2. Egesdam.ru.

3. Math.md.

Проверь себя

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 512–514;

2. Решить уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Решить уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .